Que valor você esperaria para o período, quando a amplitude
na Eq. 25 se aproximasse de
? Explique em termos físicos.
Passo 1
O enunciado pergunta qual comportamento teríamos para o período
de um pêndulo simples, dado pela Eq. 25 como função da amplitude máxima
, quando essa amplitude se aproxima de
. O conteúdo envolve a expressão exata do período usando integrais elípticas.
Passo 2
A Eq. 25 resulta da solução não linear do pêndulo e pode ser escrita como
onde
é o comprimento do pêndulo,
a aceleração da gravidade, e
é a integral elíptica de primeira espécie com módulo
.
Passo 3
Quando
temos
ou seja,
. É conhecido que
diverge logaritmicamente ao aproximar
de 1. Logo
e, por consequência,
Passo 4
Fisicamente, amplitude de
significa que o pêndulo chegaria à posição vertical invertida, onde a velocidade se anula e ele passa muito tempo próximo desse equilíbrio instável. Assim, o tempo de ida e volta cresce sem limite.
Resposta
O período
tende a infinito quando
se aproxima de
.