Que valor você esperaria para o período, quando a amplitude \theta_{\mathrm{m}} na Eq. 25 se aproximasse de 180^{\circ} ? Explique em termos físicos.

Passo 1

O enunciado pergunta qual comportamento teríamos para o período T de um pêndulo simples, dado pela Eq. 25 como função da amplitude máxima \theta_{\mathrm{m}}, quando essa amplitude se aproxima de 180^\circ. O conteúdo envolve a expressão exata do período usando integrais elípticas.

Passo 2

A Eq. 25 resulta da solução não linear do pêndulo e pode ser escrita como
T \;=\; 4\,\sqrt{\frac{L}{g}}\;K\!\Bigl(\sin\frac{\theta_{\mathrm{m}}}{2}\Bigr),
onde L é o comprimento do pêndulo, g a aceleração da gravidade, e
K(k)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
é a integral elíptica de primeira espécie com módulo k=\sin(\theta_{\mathrm{m}}/2).

Passo 3

Quando \theta_{\mathrm{m}}\to180^\circ temos
\sin\frac{\theta_{\mathrm{m}}}{2}\;\longrightarrow\;\sin90^\circ=1,
ou seja, k\to1. É conhecido que
K(k)\sim \frac12\ln\!\Bigl(\frac{16}{1-k^2}\Bigr)
diverge logaritmicamente ao aproximar k de 1. Logo K(k)\to\infty e, por consequência,
T = 4\,\sqrt{\frac{L}{g}}\;K(k)\;\longrightarrow\;\infty.

Passo 4

Fisicamente, amplitude de 180^\circ significa que o pêndulo chegaria à posição vertical invertida, onde a velocidade se anula e ele passa muito tempo próximo desse equilíbrio instável. Assim, o tempo de ida e volta cresce sem limite.

Resposta

O período T tende a infinito quando \theta_{\mathrm{m}} se aproxima de 180^\circ.

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