Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso:
\{-3,3\}-\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\{-3,3\}-\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\right\}.
A tarefa é preencher o espaço vazio com a relação apropriada entre os dois conjuntos (ou seja, decidir qual símbolo relaciona corretamente esses conjuntos).

Passo 2

Vamos identificar explicitamente o conjunto definido por equação. Resolver a equação
x^{2}-9=0
Usamos fatoração: x^{2}-9=(x-3)(x+3). Pela propriedade do produto nulo, se (x-3)(x+3)=0 então x-3=0 ou x+3=0. Logo as soluções são
x=3\quad\text{ou}\quad x=-3.

Passo 3

Portanto o conjunto definido pela condição é exatamente
\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}=\{-3,3\}.
Agora vamos comparar os dois conjuntos. Para provar igualdade de conjuntos usamos o critério: dois conjuntos A e B são iguais se e somente se A\subseteq B e B\subseteq A.
  1. Mostrando \{-3,3\}\subseteq\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}: seja y\in\{-3,3\}. Então y é -3 ou 3. Ambos satisfazem y^{2}-9=0, logo y\in\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}. Assim a inclusão vale.
  2. Mostrando \left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}\subseteq\{-3,3\}: seja y\in\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}. Pela resolução da equação (Passo 2) os únicos y que satisfazem são -3 e 3. Então y\in\{-3,3\}. Logo a inclusão vale na outra direção.
Como há inclusão mútua, os conjuntos são iguais.

Passo 4

Conclusão didática: quando uma expressão define exatamente os mesmos elementos que outro conjunto listado explicitamente, os conjuntos são iguais. Aqui ambos representam o conjunto formado por -3 e 3, logo o símbolo correto é o de igualdade.

Resposta

=

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