Qual a relação entre os dois conjuntos
e
?
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos e pede a relação entre eles. Os conjuntos são:
-
. -
.
A pergunta implícita é: qual é a relação entre
e
? Por exemplo: será que
e
são iguais? Um é subconjunto do outro? Eles são disjuntos? Listei só o que o enunciado dá e o que se pede; nada foi resolvido ainda.
Passo 2
Vou lembrar (explicar) o que significam as noções que vou usar, passo a passo, sem pressa.
Definição de subconjunto: dizer que
é subconjunto de
(escrever
) significa que todo elemento de
também é elemento de
. Formalmente:
Definição de igualdade de conjuntos:
se e somente se
e
ao mesmo tempo.
Definição de subconjunto próprio:
é subconjunto próprio de
(escrever
) quando
e ainda
.
Essas são as ferramentas conceituais que vou usar.
Passo 3
Provar que
. A forma padrão é pegar um elemento arbitrário de
e mostrar que ele pertence a
.
Seja
tal que
. Pela definição de
temos
.
Agora, se então certamente
(porque “maior que 2” implica “maior ou igual a 2”).
Como , pela definição de
concluímos
.
Como o foi escolhido arbitrariamente, isso prova que
Agora, se
Como
Como o
Passo 4
Mostrar que a inclusão não é, na verdade, igualdade (ou seja,
). Para isso basta encontrar um elemento que esteja em
e não esteja em
.
Considere
. Temos
, logo
.
Mas é falso, logo
.
Portanto existe elemento em que não está em
, isto é,
, e assim
.
Mas
Portanto existe elemento em
Combinando com o passo anterior:
logo
ou seja,
é um subconjunto próprio de
.
Passo 5
Consequências úteis e interpretação em intervalos (para fixar a ideia):
- Em notação de intervalos numéricos:
- A diferença entre
e é apenas o ponto :
- Interseção e união:
Essas relações são fáceis de visualizar:
é o mesmo que
menos o ponto
.
Passo 6
Recapitulando de forma curta e direta: todo número maior que
também satisfaz
, então
; mas
pertence a
e não a
, então as duas não são iguais. Portanto
é subconjunto próprio de
. Força aí — tirar esse tipo de exercício rápido na prova é bem provável se você entender esse raciocínio simples!