Qual a relação entre os dois conjuntos A=\{x \mid x>2\} e B=\{x \mid x \geq 2\} ?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos e pede a relação entre eles. Os conjuntos são:
  • A=\{x \mid x>2\}.
  • B=\{x \mid x\ge 2\}.
A pergunta implícita é: qual é a relação entre A e B? Por exemplo: será que A e B são iguais? Um é subconjunto do outro? Eles são disjuntos? Listei só o que o enunciado dá e o que se pede; nada foi resolvido ainda.

Passo 2

Vou lembrar (explicar) o que significam as noções que vou usar, passo a passo, sem pressa.
Definição de subconjunto: dizer que X é subconjunto de Y (escrever X\subseteq Y) significa que todo elemento de X também é elemento de Y. Formalmente:
X\subseteq Y \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\\ (x\in X \Rightarrow x\in Y).
Definição de igualdade de conjuntos: X=Y se e somente se X\subseteq Y e Y\subseteq X ao mesmo tempo.
Definição de subconjunto próprio: X é subconjunto próprio de Y (escrever X\subsetneq Y) quando X\subseteq Y e ainda X\neq Y.
Essas são as ferramentas conceituais que vou usar.

Passo 3

Provar que A\subseteq B. A forma padrão é pegar um elemento arbitrário de A e mostrar que ele pertence a B.
Seja x tal que x\in A. Pela definição de A temos x>2.
Agora, se x>2 então certamente x\ge 2 (porque “maior que 2” implica “maior ou igual a 2”).
Como x\ge 2, pela definição de B concluímos x\in B.
Como o x foi escolhido arbitrariamente, isso prova que
A\subseteq B.

Passo 4

Mostrar que a inclusão não é, na verdade, igualdade (ou seja, A\neq B). Para isso basta encontrar um elemento que esteja em B e não esteja em A.
Considere x=2. Temos 2\ge 2, logo 2\in B.
Mas 2>2 é falso, logo 2\notin A.
Portanto existe elemento em B que não está em A, isto é, B\not\subseteq A, e assim A\neq B.
Combinando com o passo anterior:
A\subseteq B \quad\text{e}\quad A\neq B,
logo
A\subsetneq B,
ou seja, A é um subconjunto próprio de B.

Passo 5

Consequências úteis e interpretação em intervalos (para fixar a ideia):
  • Em notação de intervalos numéricos:
A=(2,\infty),\qquad B=[2,\infty).
  • A diferença entre B e A é apenas o ponto 2:
B\setminus A=\{2\}.
  • Interseção e união:
A\cap B = A,\qquad A\cup B = B.
Essas relações são fáceis de visualizar: A é o mesmo que B menos o ponto 2.

Passo 6

Recapitulando de forma curta e direta: todo número maior que 2 também satisfaz x\ge 2, então A\subseteq B; mas 2 pertence a B e não a A, então as duas não são iguais. Portanto A é subconjunto próprio de B. Força aí — tirar esse tipo de exercício rápido na prova é bem provável se você entender esse raciocínio simples!

Resposta

A\subsetneq B (ou seja, A é subconjunto próprio de B).

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