Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso:
\{3\}-\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão de diferença de conjuntos
\{3\}-\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\right\}.
O que é pedido: calcular essa diferença, ou seja, determinar o conjunto formado pelos elementos que pertencem a \{3\} e não pertencem ao conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\}.
Informações relevantes dadas:
  • O primeiro conjunto é \{3\} (contém apenas o elemento 3).
  • O segundo conjunto é descrito por equação: \{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\}.

Passo 2

Entender o segundo conjunto: precisamos resolver a equação
x^{2}-9=0.
Uma maneira simples de resolver é fatorar:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto zero, basta que uma das parcelas seja zero. Portanto as soluções são
x-3=0\implies x=3, \qquad x+3=0\implies x=-3.
Logo o conjunto definido pela equação é
\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-9=0\}=\{-3,\,3\}.

Passo 3

Relembrando a definição de diferença de conjuntos: para dois conjuntos A e B,
A\setminus B=\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\}.
Aqui A=\{3\} e B=\{-3,3\}. Vamos verificar se o elemento 3 de A está em B. Observamos que 3\in B porque B contém 3.

Passo 4

Aplicando a definição: o único elemento de A (que é 3) não satisfaz a condição x\notin B, pois 3\in B. Portanto não sobra nenhum elemento em A que não esteja em B. O conjunto diferença é o conjunto vazio:
\{3\}-\{-3,3\}=\varnothing.

Resposta

\varnothing

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