Preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo envolvendo integrais duplas. O enunciado pede para preencher as lacunas em uma expressão de integral dupla e reescrevê-la como uma integral simples. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração múltipla, especificamente integração iterada. Vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral dupla que você tem:
Aqui, estamos integrando a função
primeiro em relação a
de 2 a 4 e depois em relação a
de 1 a 5.
Passo 3
Para transformar essa integral dupla em uma integral simples, precisamos primeiro realizar a integração interna, ou seja, integrar a função em relação a
. Vamos calcular:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
- Integrar
em relação a :
- Integrar
em relação a :
Aqui,
é considerado constante em relação a
:
- Integrar
em relação a :
Como
é uma constante em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as integrais dos termos:
Vamos avaliar essa expressão de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa em relação a
:
Isso completa a transformação da integral dupla em uma integral simples.
Resposta
Preenchendo as lacunas, a integral dupla fica igual a: