Preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam.
integral1^5 integral2^4(3 x^2-2 x y+y^2) d x d y=integralsquare^square
d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo envolvendo integrais duplas. O enunciado pede para preencher as lacunas em uma expressão de integral dupla e reescrevê-la como uma integral simples. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração múltipla, especificamente integração iterada. Vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral dupla que você tem:
integral1^5 integral2^4(3 x^2-2 x y+y^2) , dx , dy
Aqui, estamos integrando a função 3x^2 - 2xy + y^2 primeiro em relação a x de 2 a 4 e depois em relação a y de 1 a 5.

Passo 3

Para transformar essa integral dupla em uma integral simples, precisamos primeiro realizar a integração interna, ou seja, integrar a função em relação a x. Vamos calcular:
integral2^4 (3x^2 - 2xy + y^2) , dx

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrar 3x^2 em relação a x:
integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3
  1. Integrar -2xy em relação a x:
Aqui, y é considerado constante em relação a x:
integral -2xy , dx = -2y cdot x^22 = -y x^2
  1. Integrar y^2 em relação a x:
Como y^2 é uma constante em relação a x:
integral y^2 , dx = y^2 x

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos termos:
x^3 - y x^2 + y^2 x
Vamos avaliar essa expressão de x = 2 a x = 4:
[4^3 - y cdot 4^2 + y^2 cdot 4] - [2^3 - y cdot 2^2 + y^2 cdot 2]
Calculando cada parte:
Para x = 4:
64 - 16y + 4y^2
Para x = 2:
8 - 4y + 2y^2
Subtraindo:
(64 - 16y + 4y^2) - (8 - 4y + 2y^2) = 56 - 12y + 2y^2

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa em relação a y:
integral1^5 (56 - 12y + 2y^2) , dy
Isso completa a transformação da integral dupla em uma integral simples.

Resposta

Preenchendo as lacunas, a integral dupla fica igual a:
integral1^5 integral2^4(3 x^2-2 x y+y^2) dx , dy = integral1^5 (56 - 12y + 2y^2) , dy

Exercícios relacionados