O volume do sólido englobado pela superfície z=x / y e o retângulo 0 <= x <= 4,1 <= y <= e^2 do plano x y é

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o volume do sólido limitado pela superfície z = xy e pelo retângulo no plano xy definido por 0 <= x <= 4 e 1 <= y <= e^2 . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que permitem calcular volumes sob superfícies sobre regiões específicas no plano.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração. O valor de x varia de 0 a 4 e o valor de y varia de 1 a e^2 . Assim, configuramos a integral dupla para calcular o volume:
Volume = integral0^4 integral1^e^2 xy , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral1^e^2 xy , dy
Aqui, x é uma constante em relação a y . A integral de 1y em relação a y é ln(y) , então:
= x [ ln(y) ]1^e^2 = x ( ln(e^2) - ln(1) )
Sabemos que ln(e^2) = 2 e ln(1) = 0 , então:
= x (2 - 0) = 2x

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Volume = integral0^4 2x , dx
Esta é uma integral simples de uma função polinomial.

Passo 5

Calculamos a integral:
integral0^4 2x , dx = 2 integral0^4 x , dx = 2 [ x^22 ]0^4 = 2 ( 162 - 0 ) = 2 times 8 = 16

Resposta

O volume do sólido é 16 unidades cúbicas.

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