O estado plano de tensões mostrado ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço com
. Determine o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando: a) critério de falha de Tresca, b) critério de falha de Von Mises. (faça também usando o método gráfico).
Passo 1
O enunciado pede que se determine o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando:
- (a) critério de falha de Tresca;
- (b) critério de falha de Von Mises;
- e que se faça também pelo método gráfico (círculo de Mohr).
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
-
.
Informação essencial que falta (necessária para obter resultados numéricos): o estado plano de tensões mostrado (isto é, os valores de
,
e
ou os próprios
do ponto). Sem esses valores (ou sem a figura com esses dados) não há como calcular numericamente os coeficientes de segurança pedidos.
Passo 2
O que é preciso saber para calcular (aula rápida e clara):
- Como obter as tensões principais a partir de
, , .
- As tensões principais em um estado plano (duas tensões principais
e , com a terceira ) são dadas por:
Explanação: aqui
e
são as tensões normais nas direções
e
, e
é a tensão de cisalhamento no plano
. A expressão dentro da raiz é o quadrado do “offset” que dá a diferença entre médias e extremos; tomar
dá
(maior) e
dá
(menor).
- Critério de Tresca (critério do máximo cisalhamento):
- Em termos das tensões principais
(aqui ), o critério de Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior diferença absoluta entre pares de tensões principais atinge a tensão de escoamento:
- Definimos a tensão equivalente de Tresca como
- O coeficiente de segurança por Tresca é
Para estado plano (
), as diferenças são
,
e
. Então
- Critério de Von Mises (energia de distorção):
- A tensão equivalente Von Mises para tensões principais é
- Para estado plano (
) isso simplifica para
- O coeficiente de segurança por Von Mises é
Passo 3
Como proceder passo a passo quando os valores
estiverem disponíveis (roteiro para a prova):
- Calcular
e pela fórmula das tensões principais citada no Passo 2. - Calcular
usando . - Calcular
. - Calcular
e . - Interpretar: geralmente
será um pouco maior que (Von Mises é menos conservador do que Tresca em muitos casos), mas sempre compare numericamente.
Dica prática para prova: organize os cálculos em tabela pequena: calcule a média, o termo dentro da raiz, a raiz, as
, depois os dois
e finalmente os
.
Passo 4
Método gráfico (círculo de Mohr) — como obter graficamente as quantidades necessárias (passo a passo bem prático):
- Escolha escalas: eixo horizontal é tensão normal
(em MPa), eixo vertical é tensão de cisalhamento (em MPa). Marque a origem e uma boa escala para desenhar com régua e compasso. - Marque o ponto
e o ponto no plano . (Isto é padrão do círculo de Mohr.) - O centro do círculo fica em
. - O raio do círculo é
- Os pontos de interseção do círculo com o eixo
são e — são as tensões principais. - Para Tresca graficamente: a máxima tensão de cisalhamento absoluta no estado é
. No caso de considerar a terceira tensão , verifique as distâncias entre os pontos e no eixo . A maior dessas distâncias (entre quaisquer dois destes três valores ) é ; então . - Para Von Mises: após ler
e do círculo, calcule pela fórmula do Passo 2. Assim, o método gráfico serve para obter visualmente e daí seguir com as fórmulas; a leitura cuidadosa do eixo permite aplicar os critérios sem erro.
Observação: o círculo de Mohr torna muito claro onde está a máxima tensão normal e a máxima tensão cisalhante e facilita ver se a diferença entre
e
(ou entre
e
) é a maior.
Passo 5
Exemplo numérico completo (ilustrativo, para você ver todos os passos na prática — atenção: isto é um exemplo didático, não os valores do seu enunciado, pois a figura não foi enviada):
Suponha (exemplo)
,
,
. Vou fazer os cálculos bem mastigados:
- Média:
- Termo dentro da raiz:
- Raiz:
- Tensões principais:
- Tresca — tensão equivalente:
Calcule as três diferenças:
Então
Coeficiente de segurança por Tresca:
- Von Mises — tensão equivalente:
Calcule:
Coeficiente de segurança por Von Mises:
Interpretação do exemplo: por Tresca deu
e por Von Mises
. Note como Von Mises aqui fornece fator ligeiramente maior (menos conservador) que Tresca, o que é típico em muitos estados de tensão.
Passo 6
Resumo do que você deve fazer com a figura fornecida (roteiro rápido para a prova, sem pânico):
- Leia da figura os valores
, e . Se a figura já der , use direto. - Calcule
(fórmula do Passo 2). - Aplique as fórmulas dos critérios (Tresca e Von Mises) conforme descrito.
- Para o método gráfico, desenhe o círculo de Mohr, extraia
e proceda igual. - Compare
e e use o mais conservador conforme a política do projeto (geralmente usa-se o menor obtido).
Resposta
Não é possível determinar numericamente os coeficientes de segurança sem os valores do estado plano de tensões mostrado (ou sem a figura com
ou os valores de
). O enunciado forneceu apenas
.