O estado plano de tensões mostrado ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço com \sigma_{\mathrm{esc}}=250 \mathrm{MPa}. Determine o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando: a) critério de falha de Tresca, b) critério de falha de Von Mises. (faça também usando o método gráfico).

Passo 1

O enunciado pede que se determine o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando:
  • (a) critério de falha de Tresca;
  • (b) critério de falha de Von Mises;
  • e que se faça também pelo método gráfico (círculo de Mohr).
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
  • \sigma_{\mathrm{esc}} = 250\\ \mathrm{MPa}.
Informação essencial que falta (necessária para obter resultados numéricos): o estado plano de tensões mostrado (isto é, os valores de \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} ou os próprios \sigma_1,\sigma_2 do ponto). Sem esses valores (ou sem a figura com esses dados) não há como calcular numericamente os coeficientes de segurança pedidos.

Passo 2

O que é preciso saber para calcular (aula rápida e clara):
  1. Como obter as tensões principais a partir de \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}.
  • As tensões principais em um estado plano (duas tensões principais \sigma_1 e \sigma_2, com a terceira \sigma_3=0) são dadas por:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 }.
Explanação: aqui \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y, e \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy. A expressão dentro da raiz é o quadrado do “offset” que dá a diferença entre médias e extremos; tomar + \sigma_1 (maior) e - \sigma_2 (menor).
  1. Critério de Tresca (critério do máximo cisalhamento):
  • Em termos das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 (aqui \sigma_3=0), o critério de Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior diferença absoluta entre pares de tensões principais atinge a tensão de escoamento:
\max\big(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\big) = \sigma_{\mathrm{esc}}.
  • Definimos a tensão equivalente de Tresca como
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)} = \max\big(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\big).
  • O coeficiente de segurança por Tresca é
n_T = \frac{\sigma_{\mathrm{esc}}}{\sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)}}.
Para estado plano ( \sigma_3=0), as diferenças são |\sigma_1-\sigma_2|, |\sigma_1| e |\sigma_2|. Então
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)} = \max\big(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_1|,\;|\sigma_2|\big).
  1. Critério de Von Mises (energia de distorção):
  • A tensão equivalente Von Mises para tensões principais é
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • Para estado plano ( \sigma_3=0) isso simplifica para
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 }.
  • O coeficiente de segurança por Von Mises é
n_{VM} = \frac{\sigma_{\mathrm{esc}}}{\sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})}}.

Passo 3

Como proceder passo a passo quando os valores \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} estiverem disponíveis (roteiro para a prova):
  1. Calcular \sigma_1 e \sigma_2 pela fórmula das tensões principais citada no Passo 2.
  2. Calcular \sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)} usando \max(|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_1|,|\sigma_2|).
  3. Calcular \sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})}=\sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2}.
  4. Calcular n_T = \sigma_{\mathrm{esc}} / \sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)} e n_{VM} = \sigma_{\mathrm{esc}} / \sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})}.
  5. Interpretar: geralmente n_{VM} será um pouco maior que n_T (Von Mises é menos conservador do que Tresca em muitos casos), mas sempre compare numericamente.
Dica prática para prova: organize os cálculos em tabela pequena: calcule a média, o termo dentro da raiz, a raiz, as \sigma_1,\sigma_2, depois os dois \sigma_{\mathrm{eq}} e finalmente os n.

Passo 4

Método gráfico (círculo de Mohr) — como obter graficamente as quantidades necessárias (passo a passo bem prático):
  1. Escolha escalas: eixo horizontal é tensão normal \sigma (em MPa), eixo vertical é tensão de cisalhamento \tau (em MPa). Marque a origem e uma boa escala para desenhar com régua e compasso.
  2. Marque o ponto A=(\sigma_x,\; \tau_{xy}) e o ponto B=(\sigma_y,\; -\tau_{xy}) no plano (\sigma,\tau). (Isto é padrão do círculo de Mohr.)
  3. O centro do círculo fica em C=(\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\;0).
  4. O raio do círculo é
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 }.
  1. Os pontos de interseção do círculo com o eixo \tau=0 são \sigma_1 = C + R e \sigma_2 = C - R — são as tensões principais.
  2. Para Tresca graficamente: a máxima tensão de cisalhamento absoluta no estado é \tau_{\max} = R. No caso de considerar a terceira tensão \sigma_3=0, verifique as distâncias entre os pontos \sigma_1,\sigma_2 e 0 no eixo \sigma. A maior dessas distâncias (entre quaisquer dois destes três valores \sigma_1,\sigma_2,0) é \sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)}; então n_T = \sigma_{\mathrm{esc}} / \sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)}.
  3. Para Von Mises: após ler \sigma_1 e \sigma_2 do círculo, calcule \sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})} pela fórmula do Passo 2. Assim, o método gráfico serve para obter visualmente \sigma_1,\sigma_2 e daí seguir com as fórmulas; a leitura cuidadosa do eixo \sigma permite aplicar os critérios sem erro.
Observação: o círculo de Mohr torna muito claro onde está a máxima tensão normal e a máxima tensão cisalhante e facilita ver se a diferença entre \sigma_1 e 0 (ou entre \sigma_1 e \sigma_2) é a maior.

Passo 5

Exemplo numérico completo (ilustrativo, para você ver todos os passos na prática — atenção: isto é um exemplo didático, não os valores do seu enunciado, pois a figura não foi enviada):
Suponha (exemplo) \sigma_x = 100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y = 20\\ \mathrm{MPa}, \tau_{xy} = 30\\ \mathrm{MPa}. Vou fazer os cálculos bem mastigados:
  1. Média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{100+20}{2} = 60\\ \mathrm{MPa}.
  1. Termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 = \left(\frac{100-20}{2}\right)^2 + 30^2 = 40^2 + 900 = 1600 + 900 = 2500.
  1. Raiz:
\sqrt{2500} = 50\\ \mathrm{MPa}.
  1. Tensões principais:
\sigma_1 = 60 + 50 = 110\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2 = 60 - 50 = 10\\ \mathrm{MPa}.
  1. Tresca — tensão equivalente:
    Calcule as três diferenças:
|\sigma_1-\sigma_2| = |110-10| = 100,
|\sigma_1-\sigma_3| = |\;110-0\;| = 110,
|\sigma_2-\sigma_3| = |\;10-0\;| = 10.
Então
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)} = \max(100,110,10) = 110\\ \mathrm{MPa}.
Coeficiente de segurança por Tresca:
n_T = \frac{\sigma_{\mathrm{esc}}}{\sigma_{\mathrm{eq}}^{(T)}} = \frac{250}{110} \approx 2{,}27.
  1. Von Mises — tensão equivalente:
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} = \sqrt{110^2 - 110\cdot10 + 10^2 }.
Calcule:
110^2 = 12100,\quad 110\cdot10 = 1100,\quad 10^2 = 100,
12100 - 1100 + 100 = 11100,
\sigma_{\mathrm{eq}}^{(\mathrm{VM})} = \sqrt{11100} \approx 105{,}35\\ \mathrm{MPa}.
Coeficiente de segurança por Von Mises:
n_{VM} = \frac{250}{105{,}35} \approx 2{,}37.
Interpretação do exemplo: por Tresca deu n_T\approx2{,}27 e por Von Mises n_{VM}\approx2{,}37. Note como Von Mises aqui fornece fator ligeiramente maior (menos conservador) que Tresca, o que é típico em muitos estados de tensão.

Passo 6

Resumo do que você deve fazer com a figura fornecida (roteiro rápido para a prova, sem pânico):
  • Leia da figura os valores \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}. Se a figura já der \sigma_1,\sigma_2, use direto.
  • Calcule \sigma_1,\sigma_2 (fórmula do Passo 2).
  • Aplique as fórmulas dos critérios (Tresca e Von Mises) conforme descrito.
  • Para o método gráfico, desenhe o círculo de Mohr, extraia \sigma_1,\sigma_2 e proceda igual.
  • Compare n_T e n_{VM} e use o mais conservador conforme a política do projeto (geralmente usa-se o menor n obtido).

Resposta

Não é possível determinar numericamente os coeficientes de segurança sem os valores do estado plano de tensões mostrado (ou sem a figura com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} ou os valores de \sigma_1,\sigma_2). O enunciado forneceu apenas \sigma_{\mathrm{esc}} = 250\\ \mathrm{MPa}.

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