A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatorıo local, que possu1 300 \mathrm{mı} metros cúbicos de água, há uma concentração de 15 ppm (partes por milhão) de flúor. A nova lei determina que a água deve ter uma concentração de 1 ppm de flúor. A prefeitura interrompe a entrada de água no reservatório e começa a bombear água sem flúor para dentro do reservatório a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à mesma vazão de 3 metros cúbicos por minuto.
a) Quanto tempo leva para que a concentração de flúor atinja o nível exigido pela nova lei?
b) Quanto tempo levaria para atingir o nível exigido se o reservatório tivesse uma entrada de água com vazão de 1 metro cúbico por minuto e concentração de 0 ppm de flúor?
Passo 1
O reservatório tem volume V=300 m^{3} e concentração inicial de flúor C(0)=15 ppm. Queremos reduzir até C_f=1 ppm bombeando água sem flúor a uma vazão r (m^{3}/min) e retirando à mesma taxa para manter o volume constante. Este é um problema de mistura homogênea regido por uma EDO de primeiro ordem.
Passo 2
Seja Q(t) a quantidade de flúor no reservatório em ppm·m^{3}. A vazão de entrada traz concentração zero, e a saída remove à concentração instantânea Q/V. Logo,