A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatorıo local, que possu1 300 \mathrm{mı} metros cúbicos de água, há uma concentração de 15 ppm (partes por milhão) de flúor. A nova lei determina que a água deve ter uma concentração de 1 ppm de flúor. A prefeitura interrompe a entrada de água no reservatório e começa a bombear água sem flúor para dentro do reservatório a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à mesma vazão de 3 metros cúbicos por minuto.
a) Quanto tempo leva para que a concentração de flúor atinja o nível exigido pela nova lei?
b) Quanto tempo levaria para atingir o nível exigido se o reservatório tivesse uma entrada de água com vazão de 1 metro cúbico por minuto e concentração de 0 ppm de flúor?

Passo 1

O reservatório tem volume V=300 m^{3} e concentração inicial de flúor C(0)=15 ppm. Queremos reduzir até C_f=1 ppm bombeando água sem flúor a uma vazão r ( m^{3}/min) e retirando à mesma taxa para manter o volume constante. Este é um problema de mistura homogênea regido por uma EDO de primeiro ordem.

Passo 2

Seja Q(t) a quantidade de flúor no reservatório em ppm· m^{3}. A vazão de entrada traz concentração zero, e a saída remove à concentração instantânea Q/V. Logo,
\frac{dQ}{dt} =\underbrace{r\cdot 0}_{\text{entrada}}-\underbrace{r\frac{Q}{V}}_{\text{saída}} =-\frac{r}{V}\,Q.í
Esta EDO separável tem solução
Q(t)=Q(0)\,e^{-\frac{r}{V}t}.
Como C(t)=Q(t)/V e C(0)=Q(0)/V, temos
C(t)=C(0)\,e^{-\frac{r}{V}t}.

Passo 3

Para o caso (a), r=3 m^{3}/min. Queremos C(t_a)=1 ppm partindo de C(0)=15 ppm:
1=15\,e^{-\frac{3}{300}t_a} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{t_a}{100}}=\frac{1}{15} \quad\Longrightarrow\quad t_a=100\ln(15).

Passo 4

Calculando numericamente,
t_a=100\ln(15)\approx100\cdot2{,}70805\approx270{,}8\text{ min}\approx4{,}51\text{ h}.

Passo 5

Para o caso (b), r=1 m^{3}/min e mesma lógica:
1=15\,e^{-\frac{1}{300}t_b} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{t_b}{300}}=\frac{1}{15} \quad\Longrightarrow\quad t_b=300\ln(15).

Passo 6

Numericamente,
t_b=300\ln(15)\approx300\cdot2{,}70805\approx812{,}4\text{ min}\approx13{,}54\text{ h}.

Resposta

a) t_a=100\ln(15)\approx270{,}8 min ( \approx4{,}51 h).
b) t_b=300\ln(15)\approx812{,}4 min ( \approx13{,}54 h).

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