Um tanque contém 1.000 L de água salgada com 15 kg de sal dissolvido. A água pura entra no tanque a uma taxa de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. A solução é mantida bem misturada e sai do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque
a) depois de t minutos?
b) depois de 20 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de capacidade constante de 1000 L, inicialmente contendo 15 kg de sal dissolvido. Entra água pura à taxa de 10 L/min e sai solução bem misturada à mesma taxa. O conteúdo é modelar uma EDO de mistura e resolver para a massa de sal S(t).

Passo 2

Como o volume permanece 1000 L, a concentração de sal na saída é \tfrac{S(t)}{1000} kg/L. A água pura não introduz sal, logo a variação de S vem só da saída:
\frac{dS}{dt} =0-\biggl(\frac{S(t)}{1000}\biggr)\times 10 =-\frac{10}{1000}\,S(t) =-\frac{1}{100}\,S(t).

Passo 3

Temos a EDO linear de coeficiente constante. Podemos usar separação de variáveis:
\frac{dS}{S} =-\frac{1}{100}\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dS}{S}=-\frac{1}{100}\int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln S=-\frac{t}{100}+C.

Passo 4

Exponenciando e aplicando condição inicial S(0)=15:
S(t)=e^C\,e^{-t/100}.
Como S(0)=e^C=15, segue
S(t)=15\,e^{-t/100}.

Passo 5

Para t=20 minutos:
S(20)=15\,e^{-20/100} =15\,e^{-0.2}\approx15\times0.8187\approx12.28\text{ kg}.

Resposta

(a) \displaystyle S(t)=15\,e^{-t/100} kg.
(b) \displaystyle S(20)\approx12.28 kg.

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