Um tanque contém 1.000 L de água salgada com 15 kg de sal dissolvido. A água pura entra no tanque a uma taxa de
. A solução é mantida bem misturada e sai do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque
a) depois de
minutos?
b) depois de 20 minutos?
a) depois de
b) depois de 20 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de capacidade constante de 1000 L, inicialmente contendo 15 kg de sal dissolvido. Entra água pura à taxa de 10 L/min e sai solução bem misturada à mesma taxa. O conteúdo é modelar uma EDO de mistura e resolver para a massa de sal
.
Passo 2
Como o volume permanece
L, a concentração de sal na saída é
kg/L. A água pura não introduz sal, logo a variação de
vem só da saída:
Passo 3
Temos a EDO linear de coeficiente constante. Podemos usar separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Exponenciando e aplicando condição inicial
:
Como
, segue
Passo 5
Para
minutos:
Resposta
(a)
kg.
(b) kg.
(b)