\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste da raiz (ou, alternativamente, o teste da razão).

Passo 2

Seja a_n=\left(\tfrac{-2n}{n+1}\right)^{5n}. Para aplicar o teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{-2n}{n+1}\right|^{5} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5}.
Como \tfrac{2n}{n+1} = \tfrac{2}{1 + 1/n}\to 2, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =2^{5}=32.

Passo 3

O teste da raiz diz que se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} > 1,
então a série diverge. Aqui L=32>1, logo a série não converge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados