Uma prensa hidráulica é composta por dois cilindros conectados, contendo um fluido ideal. O cilindro menor tem um diâmetro de 3,0 \mathrm{~cm} e o maior tem um diâmetro de 21,0 \mathrm{~cm}. Uma força de 180 N é aplicada ao êmbolo do cilindro menor. (1,5 ponto)
a) Calcule a pressão exercida no fluido pela força aplicada ao cilindro menor.
b) Determine a força que o êmbolo do cilindro maior exerce sobre um objeto colocado sobre eie.

Passo 1

O enunciado dá uma prensa hidráulica com dois cilindros conectados por um fluido ideal. Foram fornecidos:
  • Diâmetro do cilindro menor: D_1 = 3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do cilindro maior: D_2 = 21{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Força aplicada no êmbolo do cilindro menor: F_1 = 180\\ \mathrm{N}.
As perguntas são:
a) Calcular a pressão exercida no fluido pela força aplicada ao cilindro menor.
b) Determinar a força que o êmbolo do cilindro maior exerce sobre um objeto colocado sobre ele.

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática):
  • Pressão é a força por unidade de área. A fórmula é
p=\frac{F}{A},
onde p é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}), F é a força (em newtons, \mathrm{N}) e A é a área sobre a qual a força atua (em metros quadrados, \mathrm{m^2}).
  • A área de um círculo (pistão é circular) é
A=\pi r^2,
onde r é o raio. O raio se obtém do diâmetro por r=\dfrac{D}{2}.
  • Em um fluido ideal (sem perdas) a pressão aplicada em um ponto se transmite integralmente para todo o fluido — esse é o Princípio de Pascal. Portanto, a pressão gerada pelo êmbolo menor é a mesma que age sobre o êmbolo maior:
p_1 = p_2.
  • A força sobre o êmbolo maior será, então,
F_2 = p \cdot A_2.
Uma maneira prática: como A\propto D^2, pode-se também usar diretamente
F_2 = F_1\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2,
que evita arredondamentos intermediários.

Passo 3

Calcular a área do êmbolo menor passo a passo.
  • Converter diâmetro para metros: D_1 = 3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Raio do êmbolo menor: r_1=\dfrac{D_1}{2}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Área do êmbolo menor:
A_1=\pi r_1^2=\pi (0{,}015)^2=\pi\cdot 0{,}000225\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}00070686\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a pressão que a força F_1 gera no fluido.
  • Usando p=\dfrac{F_1}{A_1}:
p=\frac{180}{\pi(0{,}015)^2}\\ \mathrm{Pa}\approx 254647{,}9\\ \mathrm{Pa}.
  • Em notação mais compacta:
p\approx 2{,}55\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(Se preferir, isso equivale a cerca de 255\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 5

Calcular a área do êmbolo maior.
  • Converter diâmetro para metros: D_2 = 21{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}21\\ \mathrm{m}.
  • Raio do êmbolo maior: r_2=\dfrac{D_2}{2}=0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • Área do êmbolo maior:
A_2=\pi r_2^2=\pi (0{,}105)^2=\pi\cdot 0{,}011025\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}034636\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a força exercida pelo êmbolo maior. Vou mostrar duas vias e usar a que é exata (razão de áreas evita arredondamento):
Via 1 — direto por pressão:
F_2 = p\cdot A_2 \approx 254647{,}9\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}034636\\ \mathrm{m^2}\approx 8826{,}9\\ \mathrm{N}.
(Varia um pouco por arredondamento do p.)
Via 2 — usando a razão de diâmetros (mais limpa e exata):
F_2 = F_1\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = 180\left(\frac{21{,}0}{3{,}0}\right)^2.
Calcule:
\frac{21{,}0}{3{,}0}=7{,}0,\qquad 7{,}0^2=49,
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F_2 = 180\times 49 = 8820\\ \mathrm{N}.
Essa é a resposta correta sem erro de arredondamento.

Passo 7

Resumo final rápido: a pressão no fluido é obtida dividindo a força pela área do êmbolo menor; essa mesma pressão age no êmbolo maior e gera a força sobre o objeto. Usei o Princípio de Pascal e a fórmula da área do círculo para chegar nos números.

Resposta

a) p\approx 2{,}55\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
b) F_2 = 8820\\ \mathrm{N}

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