Dois raios de luz incidem paralelamente ao eixo principal de uma lente plano-convexa grande cujo indice de refração é 1,60 . Se a face convexa é esférica, o raio próximo à borda não passa pelo ponto focal (ocorre aberração esférica).
Se a face tem 20,0 \mathrm{~cm} de raio de curvatura, e os raios de luz estāo a 50 mm e a 120 mm do eixo principal, calcule a diferença \Delta x entre as posições onde eles cruzam o eixo principal.

Passo 1

O enunciado dá um esquema com uma lente plano-convexa cuja face convexa é esférica. Precisamos encontrar a diferença entre os pontos onde dois raios paralelos ao eixo principal, situados a diferentes alturas em relação ao eixo, cruzam o eixo após refratar na superfície esférica. Dados fornecidos:
n=1{,}60,\qquad R=20{,}0\\ \mathrm{cm}=200\\ \mathrm{mm},
h_1=50\\ \mathrm{mm},\qquad h_2=120\\ \mathrm{mm}.
O que se pede: calcular a diferença \Delta x entre as posições ao longo do eixo onde cada raio cruza o eixo (distâncias medidas a partir do vértice da superfície esférica no lado refratado).

Passo 2

Vamos modelar a transmissão de um raio paralelo ao eixo que incide a uma altura h sobre uma superfície esférica de raio R. Seja V o vértice da superfície e C o centro da esfera. O raio incidente é paralelo ao eixo e atinge a superfície no ponto a altura h. Definimos os ângulos:
\alpha=\angle(\text{normal},\text{eixo})=\arcsin\!\left(\frac{h}{R}\right),
pois o triângulo do centro até o ponto de incidência dá \sin\alpha=h/R. O ângulo de incidência é \,i=\alpha. Pela lei de Snell,
n_1\sin i=n_2\sin r \quad\Rightarrow\quad \sin r=\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha,
onde n_1=1 (ar) e n_2=1{,}60 (vidro). O raio refratado faz um ângulo \theta com o eixo (medido entre o raio e o eixo). Observando a geometria, esse ângulo é
\theta=\alpha-r.
O ponto onde o raio cruza o eixo, medido a partir do vértice V no lado refratado, tem distância s dada por trigonometria no triângulo formado:
\tan\theta=\frac{h}{s}\quad\Rightarrow\quad s=\frac{h}{\tan\theta}.

Passo 3

Resumindo as fórmulas que vamos usar (tudo em função de h, R e n):
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{h}{R}\right),
r=\arcsin\!\left(\frac{1}{n}\sin\alpha\right),
\theta=\alpha-r,
s(h)=\frac{h}{\tan\theta}.
Depois calculamos \Delta x=|s(h_1)-s(h_2)|. Essas expressões são exatas (não usam aproximação para pequenos ângulos), apenas trigonometria e a lei de Snell.

Passo 4

Calculamos para h_1=50\\ \mathrm{mm}.
\sin\alpha_1=\frac{h_1}{R}=\frac{50}{200}=0{,}25\quad\Rightarrow\quad \alpha_1=\arcsin(0{,}25)\approx 0{,}25268\\ \text{rad}\\ (\approx14{,}477^\circ).
\sin r_1=\frac{1}{n}\sin\alpha_1=\frac{1}{1{,}60}\cdot0{,}25=0{,}15625\quad\Rightarrow\quad r_1=\arcsin(0{,}15625)\approx 0{,}15689\\ \text{rad}\\ (\approx8{,}989^\circ).
\theta_1=\alpha_1-r_1\approx 0{,}25268-0{,}15689=0{,}09579\\ \text{rad}\\ (\approx5{,}488^\circ).
s_1=\frac{h_1}{\tan\theta_1}=\frac{50}{\tan(0{,}09579)}\approx\frac{50}{0{,}09609}\approx 520\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calculamos para h_2=120\\ \mathrm{mm}.
\sin\alpha_2=\frac{h_2}{R}=\frac{120}{200}=0{,}6\quad\Rightarrow\quad \alpha_2=\arcsin(0{,}6)\approx 0{,}64350\\ \text{rad}\\ (\approx36{,}87^\circ).
\sin r_2=\frac{1}{n}\sin\alpha_2=\frac{1}{1{,}60}\cdot0{,}6=0{,}375\quad\Rightarrow\quad r_2=\arcsin(0{,}375)\approx 0{,}38440\\ \text{rad}\\ (\approx22{,}03^\circ).
\theta_2=\alpha_2-r_2\approx 0{,}64350-0{,}38440=0{,}25910\\ \text{rad}\\ (\approx14{,}84^\circ).
s_2=\frac{h_2}{\tan\theta_2}=\frac{120}{\tan(0{,}25910)}\approx\frac{120}{0{,}2646}\approx 454\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Agora a diferença entre as posições onde cada raio cruza o eixo é
\Delta x=|s_1-s_2|\approx |520-454|\\ \mathrm{mm}=66\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\Delta x=66{,}0\\ \mathrm{mm}

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