Dois raios de luz incidem paralelamente ao eixo principal de uma lente plano-convexa grande cujo indice de refração é 1,60 . Se a face convexa é esférica, o raio próximo à borda não passa pelo ponto focal (ocorre aberração esférica).
Se a face tem
de raio de curvatura, e os raios de luz estāo a 50 mm e a 120 mm do eixo principal, calcule a diferença
entre as posições onde eles cruzam o eixo principal.
Passo 1
O enunciado dá um esquema com uma lente plano-convexa cuja face convexa é esférica. Precisamos encontrar a diferença entre os pontos onde dois raios paralelos ao eixo principal, situados a diferentes alturas em relação ao eixo, cruzam o eixo após refratar na superfície esférica. Dados fornecidos:
O que se pede: calcular a diferença
entre as posições ao longo do eixo onde cada raio cruza o eixo (distâncias medidas a partir do vértice da superfície esférica no lado refratado).
Passo 2
Vamos modelar a transmissão de um raio paralelo ao eixo que incide a uma altura
sobre uma superfície esférica de raio
. Seja
o vértice da superfície e
o centro da esfera. O raio incidente é paralelo ao eixo e atinge a superfície no ponto a altura
. Definimos os ângulos:
pois o triângulo do centro até o ponto de incidência dá
. O ângulo de incidência é
. Pela lei de Snell,
onde
(ar) e
(vidro). O raio refratado faz um ângulo
com o eixo (medido entre o raio e o eixo). Observando a geometria, esse ângulo é
O ponto onde o raio cruza o eixo, medido a partir do vértice
no lado refratado, tem distância
dada por trigonometria no triângulo formado:
Passo 3
Resumindo as fórmulas que vamos usar (tudo em função de
,
e
):
Depois calculamos
. Essas expressões são exatas (não usam aproximação para pequenos ângulos), apenas trigonometria e a lei de Snell.
Passo 4
Calculamos para
.
Passo 5
Calculamos para
.
Passo 6
Agora a diferença entre as posições onde cada raio cruza o eixo é