Para que valores de \alpha, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é(são) este(s) movimento e que plano(s) é(são) este(s)?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Para que valores de \alpha, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é(são) este(s) movimento e que plano(s) é(são) este(s)?”\n
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma expressão explícita da posição da partícula (por exemplo, nenhuma função \mathbf{r}(t), nenhuma equação paramétrica (x(t),y(t),z(t)), nem descrição geométrica do movimento).\n
Resumo do que se pede: determinar os valores de \alpha que fazem com que a trajetória da partícula seja planar, descrever o(s) movimento(s) correspondente(s) e identificar o(s) plano(s).

Passo 2

Por que isto é um problema: para decidir se um movimento é confinado a um plano precisamos da posição da partícula como função do tempo, normalmente dada por uma função vetorial \mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) que pode depender de um parâmetro \alpha. Sem essa função não há como testar condições matemáticas ou obter equações do plano. Portanto, com o enunciado tal como está não é possível calcular valores concretos de \alpha.

Passo 3

Critério prático e direto para testar se uma curva \mathbf{r}(t) é planar (fórmula fácil de aplicar na prova): existe um vetor constante \mathbf{n}\neq\mathbf{0} e uma constante d tais que
\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}(t)=d\quad\text{para todo }t.
Aqui \mathbf{n}=(a,b,c) é o vetor normal do plano e d é o termo independente. Na prática, se você encontrar constantes a,b,c,d que satisfazem
a\,x(t)+b\,y(t)+c\,z(t)=d\quad\text{para todo }t,
então a trajetória está contida no plano a x + b y + c z = d. Isso é direto e costuma ser o caminho mais simples na prova.

Passo 4

Outro critério (mais teórico, mas útil) usando derivadas: uma curva regular \mathbf{r}(t) é planar se, e somente se, sua torsão \tau(t) for identicamente zero para todos os t. A torsão é dada por
\tau(t) = -\,\frac{\bigl(\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'''(t)}{\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\bigr\rVert^{2}},
quando \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\neq\mathbf{0}. Interpretação das variáveis:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade,
  • \mathbf{r}''(t) é o vetor aceleração,
  • \mathbf{r}'''(t) é a derivada terceira da posição,
  • \times é o produto vetorial e \cdot é o produto escalar.\n
    Na prática, para verificar planaridade calcule o numerador \bigl(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\bigr)\cdot\mathbf{r}'''; se for identicamente zero (e \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' não for sempre nulo), então \tau\equiv 0 e a curva é planar.

Passo 5

Método prático baseado em pontos (útil se você só tem pontos ou valores em instantes): tome três instantes distintos t_1,t_2,t_3. O plano determinado por \mathbf{r}(t_1),\mathbf{r}(t_2),\mathbf{r}(t_3) tem normal
\mathbf{n}=\bigl(\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)\bigr)\times\bigl(\mathbf{r}(t_3)-\mathbf{r}(t_1)\bigr).
Então teste se \mathbf{n}\cdot\bigl(\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(t_1)\bigr)=0 para todos os t. Se sim, toda a trajetória está nesse plano. Esse é um procedimento direto quando a posição depende de \alpha: você consegue descobrir para que \alpha essa igualdade vale.

Passo 6

Exemplo concreto e didático (ilustra como aplicar na prova): considere a hélice clássica
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;\alpha t\bigr).
Vou mostrar passo a passo que essa curva é planar apenas quando \alpha=0.
  1. Calcule \mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;\alpha\bigr).
  2. Calcule \mathbf{r}''(t)=\bigl(-\cos t,\;-\sin t,\;0\bigr).
  3. Faça o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. O cálculo dá
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\bigl(\alpha\sin t,\;-\alpha\cos t,\;1\bigr).
  1. Calcule \mathbf{r}'''(t)=\bigl(\sin t,\;-\cos t,\;0\bigr).
  2. Avalie o escalar \bigl(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\bigr)\cdot\mathbf{r}''':
\bigl(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\bigr)\cdot\mathbf{r}''' = (\alpha\sin t)(\sin t) + (-\alpha\cos t)(-\cos t) + 1\cdot 0 = \alpha(\sin^2 t+\cos^2 t)=\alpha.
  1. Como esse resultado é constante igual a \alpha, a torsão será proporcional a \alpha. Logo a torsão é zero para todo t somente quando \alpha=0. Conclusão: a hélice é planar só se \alpha=0; nesse caso \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0), que é a circunferência no plano \,z=0.\n
    Este exemplo mostra exatamente como aplicar os critérios anteriores numa situação típica dependente de \alpha.

Passo 7

O que eu deveria fazer com o seu enunciado real: aplicar um dos métodos acima (preferencialmente o critério do plano linear a x + b y + c z = d ou o teste da torsão) à função posição \mathbf{r}(t) que depende de \alpha — e então resolver a condição obtida para \alpha. Sem a expressão de \mathbf{r}(t) não há como executar esses passos de forma específica.

Resposta

Não é possível determinar os valores de \alpha nem os planos correspondentes porque o enunciado não fornece a função posição \mathbf{r}(t) ou outra descrição do movimento necessária para aplicar os critérios de planaridade.

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