Uma prensa hidráulica de forjamento tem a capacidade de carga de 1.000 .000 N . Uma peça cilíndrica deve ser forjada a frio. A peça de partida tem diâmetro igual a 30 mm e altura de 30 mm . A curva de escoamento do metal é definida por K=400 MPa e n=0,20. Determine a máxima redução de altura para a qual a peça pode ser comprimida com esta prensa de forjamento, se o coeficiente de atrito for igual a 0,1.0 uso de uma planilha de cálculo é recomendado.

Passo 1

O enunciado dá uma peça cilíndrica de diâmetro inicial D0=30 mm e altura inicial h0=30 mm, que será comprimida a frio entre dois punções, num prensa que fornece no máximo Pmax=1,0times10^6 N. A curva de escoamento do metal é
sigma = K,varepsilon^n, K=400 MPa, n=0,20
e o coeficiente de atrito punção–peça é mu=0,1.
Conteúdo: forjamento de um cilindro plano com atrito. Para resolver precisamos de
1. conservação volumétrica para relacionar D e h,
2. definição de deformação verdadeira varepsilon e tensão de escoamento,
3. fórmula do esforço de forjamento com atrito:
P = sigma,Al[1 + 2,mu,R3,hr],
onde A é a área de seção transversal no instante e R o raio do cilindro.
Buscaremos a redução máxima h tal que P<= Pmax.

Passo 2

Como o volume se conserva e o cilindro permanece de seção circular, valem
V = A,h = pi4D^2,h = pi4D0^2,h0 = constante
Logo, para uma altura instantânea h,
D = D0raizh0h, A = pi4D^2 = pi4D0^2h0h

Passo 3

A deformação verdadeira ao comprimir de h0 para h é
varepsilon = lnl(tfrach0hr)
Pela curva de escoamento, a tensão de escoamento instantânea vale
sigma = K,varepsilon^n = 400times10^6l[ln(h0/h)r]^0,20(N/m^2)

Passo 4

No forjamento com atrito, o esforço requerido é
P = sigma,Al[1+2,mu,R3,hr],
com R=D/2. Substituindo D e A de cima e passando para o fator lambda = h0/h, obtemos
D = D0raizlambda, A = pi4D0^2,lambda, R=tfrac12D0raizlambda,
P(lambda) = K,[lnlambda]^n;pi4D0^2,lambda l[1+2mu,(D0/2)raizlambda3,(h0/lambda)r]
Como D0=h0, o fator de atrito simplifica para 1+tfracmu3lambda^3/2.

Passo 5

Numericamente, com D0=0,03 m, K=400times10^6 N/m^2 e mu=0,1, fica
P(lambda) =282760;lambda,[lnlambda]^0,20; l[1+0,03333,lambda^1,5r]( N),
e impomos P(lambda)=1,0times10^6. Definindo
g(lambda)=lambda,[lnlambda]^0,20[1+0,03333,lambda^1,5],
queremos g(lambda)=1,0times10^6/282760approx3,537. Por tentativa (ou planilha) encontra-se
lambdaapprox2,97.

Passo 6

Como lambda=h0/h, obtemos a altura final
h = h0lambda = 30 mm2,97 approx10,1 mm,
de onde a redução máxima de altura é
De<a h = h0 - h approx 30,0 - 10,1 = 19,9 mm

Resposta

A altura mínima alcançável é aproximadamente 10,1 mm, ou seja, a redução máxima de altura é cerca de 19,9 mm ( approx 66 %).

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