Uma prensa hidráulica industrial é utilizada para conformar blocos de uma liga metálica especial. O processo exige que uma pressão de 150 MPa seja aplicada sobre a face superior do bloco, que possui uma área de
, para que ele seja comprimido em
. O sistema hidráulico que aciona a prensa é considerado ideal (sem perdas de energia) e é operado por um mecanismo que aplica força sobre um êmbolo de entrada de diâmetro igual a
. Qual é o trabalho que o mecanismo de acionamento deve realizar sobre o êmbolo de entrada para conseguir a deformação especificada no bloco metálico?
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos (peguei todos estes números do enunciado):
- Pede: o trabalho realizado pelo mecanismo sobre o êmbolo de entrada para produzir a deformação especificada no bloco.
- Dados fornecidos:
- Pressão necessária sobre a face superior do bloco:
. - Área da face superior do bloco:
. - Deformação (afundamento) do bloco:
. - Diâmetro do êmbolo de entrada:
.
- Pressão necessária sobre a face superior do bloco:
- Observação importante: o sistema hidráulico é ideal (sem perdas), logo a pressão no fluido é a mesma no êmbolo de entrada e na saída que age sobre o bloco.
Passo 2
Converter todas as grandezas para unidades do SI (m, Pa, m^2, m) — isso evita confusão nas contas.
- Pressão:
- Área do bloco (saída): converter
para . - Afundamento (deslocamento da saída):
- Diâmetro do êmbolo de entrada:
Passo 3
Explicar a ideia física e a fórmula do trabalho para esse caso (aula rápida e prática).
- Definição de pressão:
, onde é a força aplicada numa área . - Trabalho realizado por uma força constante
num deslocamento é . - No cilindro de saída a força sobre o bloco é
. O deslocamento do ponto de aplicação dessa força é . Assim, o trabalho feito sobre o bloco (e, por conservação num sistema hidráulico ideal, o trabalho que deve ser fornecido pelo mecanismo na entrada) é - Outra visão (útil para prova): trabalho também é pressão vezes variação de volume do fluido deslocado,
Essas duas expressões são equivalentes.
Passo 4
Calcular a variação de volume
deslocada pelo fluido ao comprimir o bloco.
(O valor também pode ser escrito como
.)
Passo 5
Calcular o trabalho usando
.
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Verificação alternativa (útil para entender): calcular área do êmbolo de entrada, deslocamento e força na entrada, e conferir que
dá o mesmo resultado.
- Área do êmbolo de entrada:
- Como o fluido é incompressível, o volume deslocado na entrada iguala o da saída:
(ou seja, cerca de ; intuitivo: pistão pequeno precisa deslocar muito mais.) - Força na entrada:
- Trabalho na entrada:
que coincide com o resultado anterior — ótimo sinal de consistência.