Uma prensa hidráulica industrial é utilizada para conformar blocos de uma liga metálica especial. O processo exige que uma pressão de 150 MPa seja aplicada sobre a face superior do bloco, que possui uma área de 625 \mathrm{~cm}^{2}, para que ele seja comprimido em 2,0 \mathrm{~mm}. O sistema hidráulico que aciona a prensa é considerado ideal (sem perdas de energia) e é operado por um mecanismo que aplica força sobre um êmbolo de entrada de diâmetro igual a 5,0 \mathrm{~cm}. Qual é o trabalho que o mecanismo de acionamento deve realizar sobre o êmbolo de entrada para conseguir a deformação especificada no bloco metálico?

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Pede: o trabalho realizado pelo mecanismo sobre o êmbolo de entrada para produzir a deformação especificada no bloco.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão necessária sobre a face superior do bloco: 150\\ \mathrm{MPa}.
    • Área da face superior do bloco: 625\\ \mathrm{cm^{2}}.
    • Deformação (afundamento) do bloco: 2{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Diâmetro do êmbolo de entrada: 5{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Observação importante: o sistema hidráulico é ideal (sem perdas), logo a pressão no fluido é a mesma no êmbolo de entrada e na saída que age sobre o bloco.

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades do SI (m, Pa, m^2, m) — isso evita confusão nas contas.
  • Pressão: p = 150\\ \mathrm{MPa} = 150\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Área do bloco (saída): converter \mathrm{cm^{2}} para \mathrm{m^{2}}. 1\\ \mathrm{cm^{2}} = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},\qquad A_{\text{out}} = 625\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} = 0,0625\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Afundamento (deslocamento da saída): x_{\text{out}} = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,002\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do êmbolo de entrada: d_{\text{in}} = 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 0,050\\ \mathrm{m},\qquad r_{\text{in}} = \frac{d_{\text{in}}}{2} = 0,025\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Explicar a ideia física e a fórmula do trabalho para esse caso (aula rápida e prática).
  • Definição de pressão: \displaystyle p=\frac{F}{A}, onde F é a força aplicada numa área A.
  • Trabalho realizado por uma força constante F num deslocamento x é \displaystyle W=F\cdot x.
  • No cilindro de saída a força sobre o bloco é F_{\text{out}}=pA_{\text{out}}. O deslocamento do ponto de aplicação dessa força é x_{\text{out}}. Assim, o trabalho feito sobre o bloco (e, por conservação num sistema hidráulico ideal, o trabalho que deve ser fornecido pelo mecanismo na entrada) é W = F_{\text{out}}\cdot x_{\text{out}} = p\,A_{\text{out}}\,x_{\text{out}}.
  • Outra visão (útil para prova): trabalho também é pressão vezes variação de volume do fluido deslocado, W = p\,\Delta V,\qquad \Delta V = A_{\text{out}}\,x_{\text{out}}.Essas duas expressões são equivalentes.

Passo 4

Calcular a variação de volume \Delta V deslocada pelo fluido ao comprimir o bloco.
\Delta V = A_{\text{out}} \, x_{\text{out}} = 0,0625\\ \mathrm{m^{2}} \times 0,002\\ \mathrm{m} = 0,000125\\ \mathrm{m^{3}}.
(O valor também pode ser escrito como 1{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.)

Passo 5

Calcular o trabalho usando W = p\,\Delta V.
W = p\,\Delta V = \left(150\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(1{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}\right).
Fazendo a multiplicação:
W = 150\times1{,}25\times10^{6-4}\\ \mathrm{J} = 187{,}5\times10^{2}\\ \mathrm{J} = 1{,}875\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para entender): calcular área do êmbolo de entrada, deslocamento e força na entrada, e conferir que W=F_{\text{in}}x_{\text{in}} dá o mesmo resultado.
  • Área do êmbolo de entrada: A_{\text{in}} = \pi r_{\text{in}}^{2} = \pi(0,025\\ \mathrm{m})^{2} \approx 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Como o fluido é incompressível, o volume deslocado na entrada iguala o da saída: A_{\text{in}}\,x_{\text{in}} = A_{\text{out}}\,x_{\text{out}} \quad\Rightarrow\quad x_{\text{in}} = \frac{A_{\text{out}}}{A_{\text{in}}}\,x_{\text{out}} \approx \frac{0,0625}{0,0019635}\times0,002\\ \mathrm{m}\approx 0,0637\\ \mathrm{m}.(ou seja, cerca de 63{,}7\\ \mathrm{mm}; intuitivo: pistão pequeno precisa deslocar muito mais.)
  • Força na entrada: F_{\text{in}} = p\,A_{\text{in}} \approx 150\times10^{6}\times0,0019635\\ \mathrm{N} \approx 2{,}945\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
  • Trabalho na entrada: W = F_{\text{in}}\,x_{\text{in}} \approx 2{,}945\times10^{5}\\ \mathrm{N}\times0,0637\\ \mathrm{m}\approx 1{,}875\times10^{4}\\ \mathrm{J},que coincide com o resultado anterior — ótimo sinal de consistência.

Resposta

1{,}875\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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