A pressão atmosférica em um ponto (x, y) é dada por P=\sqrt{100-25 x^{2}-4 y^{2}}. Trace as isobáricas em P=10, P=8, P=6, P=5 e P=0.

Passo 1

O enunciado define a pressão atmosférica em cada ponto (x,y) por
P(x,y)=\sqrt{100-25x^{2}-4y^{2}}
e pede para traçarmos as curvas de nível (isobáricas) correspondentes a P=10, P=8, P=6, P=5 e P=0. O conteúdo aqui é estudo de curvas de nível de uma função de duas variáveis, que se obtêm resolvendo P(x,y)=\text{constante} no plano (x,y).

Passo 2

Seja k\ge0 um valor de pressão fixo. Impor
\sqrt{100-25x^{2}-4y^{2}}=k
é equivalente a
100-25x^{2}-4y^{2}=k^{2},
ou seja
25x^{2}+4y^{2}=100-k^{2}.
Para que a curva exista é preciso 100-k^{2}\ge0. Essa equação descreve uma elipse centrada na origem (ou um ponto degenerado, se 100-k^2=0).

Passo 3

Para P=10 temos k=10, logo
100-10^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad25x^{2}+4y^{2}=0.
Isso só se satisfaz em x=0 e y=0. A isobárica P=10 é, portanto, o ponto (0,0) — um caso degenerado.

Passo 4

Agora as elipses não degeneradas:
Para P=8 ( k=8) vale
100-8^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}+4y^{2}=36.
Os semi-eixos são
\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{36}{25}}=\tfrac{6}{5} no eixo x e
\displaystyle b=\sqrt{\tfrac{36}{4}}=3 no eixo y.
Para P=6 ( k=6) vale
100-6^{2}=64 \quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}+4y^{2}=64,
com
\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{64}{25}}=\tfrac{8}{5} e
\displaystyle b=\sqrt{\tfrac{64}{4}}=4.
Para P=5 ( k=5) vale
100-5^{2}=75 \quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}+4y^{2}=75,
com
\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{75}{25}}=\sqrt{3} e
\displaystyle b=\sqrt{\tfrac{75}{4}}=\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
Para P=0 ( k=0) vale
100-0^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}+4y^{2}=100,
com
\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{100}{25}}=2 e
\displaystyle b=\sqrt{\tfrac{100}{4}}=5.

Resposta

As isobáricas são, para cada k\in\{10,8,6,5,0\}:
P=10: ponto (0,0).
P=8: elipse
25x^{2}+4y^{2}=36,
com semi-eixos \tfrac{6}{5} em x e 3 em y.
P=6: elipse
25x^{2}+4y^{2}=64,
com semi-eixos \tfrac{8}{5} em x e 4 em y.
P=5: elipse
25x^{2}+4y^{2}=75,
com semi-eixos \sqrt{3} em x e \tfrac{5\sqrt{3}}{2} em y.
P=0: elipse
25x^{2}+4y^{2}=100,
com semi-eixos 2 em x e 5 em y.

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