1. Encontre o número de colisões por segundo para uma molécula de \mathrm{N}_{2} numa altitude de 15 km ? A temperatura é 217 K e a pressão 12,1 \mathrm{kPa}. Considere \pi \mathrm{d}^{2}= 0,43 \mathrm{~nm}^{2}. Resposta =9,9 \times 10^{8} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: encontrar o número de colisões por segundo que uma única molécula de \mathrm{N}_2 sofre na altitude dada.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T = 217\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: p = 12{,}1\\ \mathrm{kPa}.
    • Seção eficaz (produto \pi d^2): \pi d^2 = 0{,}43\\ \mathrm{nm}^2.
Vou usar o SI para todos os cálculos; portanto os dados serão convertidos para unidades do SI onde necessário (pressão em \mathrm{Pa}, área em \mathrm{m}^2, etc.).

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas principais — explicando cada conceito de forma didática:
  • A densidade numérica (número de moléculas por volume) do gás ideal é dada por:
n=\frac{p}{kT},
onde p é a pressão, T a temperatura e k a constante de Boltzmann. Aqui n tem unidade \mathrm{m^{-3}}.
  • A frequência de colisões (colisões por segundo) que uma molécula sofre é, em média,
\nu = n\,\sigma\,\overline{c}_{\text{rel}},
onde \sigma é a seção de colisão (área efetiva de “alvo”) e \overline{c}_{\text{rel}} é a velocidade média relativa entre duas moléculas. A intuição: em um gás cada molécula “varre” um volume por unidade de tempo proporcional à sua velocidade relativa vezes a área, e o número de alvos por volume é n.
  • Para moléculas idênticas (como \mathrm{N}_2) a velocidade média relativa vale
\overline{c}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\overline{c},
onde \overline{c} é a velocidade média de uma molécula. Para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann,
\overline{c}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},
sendo m a massa de uma molécula (em kg). Portanto
\overline{c}_{\text{rel}}=\sqrt{\frac{16 k T}{\pi m}}.
  • A massa de uma molécula é obtida a partir da massa molar M dividida pela constante de Avogadro N_A:
m=\frac{M}{N_A}.
Agora aplico essas fórmulas passo a passo com os números.

Passo 3

Converter constantes e dados para SI e calcular a densidade numérica n.
Constantes e conversões relevantes:
k = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}, \qquad N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Pressão em pascal:
p = 12{,}1\\ \mathrm{kPa} = 12{,}1\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule kT:
kT = (1,380649\times10^{-23})\times(217) =2{,}99500833\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora a densidade numérica:
n=\frac{p}{kT}=\frac{12{,}1\times10^{3}}{2{,}99500833\times10^{-21}} \approx 4{,}0407\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Calcular a massa de uma molécula de \mathrm{N}_2.
Massa molar aproximada do \mathrm{N}_2:
M \approx 28{,}0134\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
Logo
m=\frac{M}{N_A}=\frac{28{,}0134\times10^{-3}}{6{,}02214076\times10^{23}} \approx 4{,}6517\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a velocidade média relativa \overline{c}_{\text{rel}}.
Primeiro escrevemos a expressão que vamos usar:
\overline{c}_{\text{rel}}=\sqrt{\frac{16 k T}{\pi m}}.
Calcular o numerador 16 k T:
16 k T = 16 \times 2{,}99500833\times10^{-21} =4{,}79201333\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Calcular \pi m:
\pi m = \pi \times 4{,}6517\times10^{-26} \approx 1{,}4609\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
Agora a razão dentro da raiz:
\frac{16 k T}{\pi m}=\frac{4{,}79201333\times10^{-20}}{1{,}4609\times10^{-25}} \approx 3{,}2788\times10^{5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}.
E finalmente a velocidade média relativa:
\overline{c}_{\text{rel}}=\sqrt{3{,}2788\times10^{5}} \approx 5{,}727\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Converter a seção eficaz dada para \mathrm{m^2}.
Dado: \pi d^2 = 0{,}43\\ \mathrm{nm}^2. Como 1\\ \mathrm{nm}^2 = 10^{-18}\\ \mathrm{m^2},
\sigma=\pi d^2 = 0{,}43\times10^{-18}\\ \mathrm{m^2}=4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Calcular a frequência de colisões \nu.
Usando
\nu = n\,\sigma\,\overline{c}_{\text{rel}},
substituindo os valores numéricos:
n \approx 4{,}0407\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}, \qquad \sigma = 4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}, \qquad \overline{c}_{\text{rel}}\approx 5{,}727\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Primeiro n\sigma:
n\sigma \approx (4{,}0407\times10^{24})\times(4{,}3\times10^{-19}) \approx 1{,}7375\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando pela velocidade relativa:
\nu \approx 1{,}7375\times10^{6}\times5{,}727\times10^{2} \approx 9{,}95\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Arredondando com dois algarismos significativos:
\nu \approx 9{,}9\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Comentário final e incentivo: o valor encontrado coincide com a resposta indicada no enunciado. Em linguagem simples, cada molécula em 15 km sofre quase um bilhão de colisões por segundo — bastante movimento! Vai dar tudo certo na prova; você tá fazendo o passo certo revisando exercícios assim.

Resposta

9{,}9\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}}

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