- Encontre o número de colisões por segundo para uma molécula de
numa altitude de 15 km ? A temperatura é 217 K e a pressão
. Considere
. Resposta
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pedido: encontrar o número de colisões por segundo que uma única molécula de
sofre na altitude dada. - Dados fornecidos:
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Seção eficaz (produto
): .
- Temperatura:
Vou usar o SI para todos os cálculos; portanto os dados serão convertidos para unidades do SI onde necessário (pressão em
, área em
, etc.).
Passo 2
Plano de resolução e fórmulas principais — explicando cada conceito de forma didática:
- A densidade numérica (número de moléculas por volume) do gás ideal é dada por:
onde
é a pressão,
a temperatura e
a constante de Boltzmann. Aqui
tem unidade
.
- A frequência de colisões (colisões por segundo) que uma molécula sofre é, em média,
onde
é a seção de colisão (área efetiva de “alvo”) e
é a velocidade média relativa entre duas moléculas. A intuição: em um gás cada molécula “varre” um volume por unidade de tempo proporcional à sua velocidade relativa vezes a área, e o número de alvos por volume é
.
- Para moléculas idênticas (como
) a velocidade média relativa vale
onde
é a velocidade média de uma molécula. Para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann,
sendo
a massa de uma molécula (em kg). Portanto
- A massa de uma molécula é obtida a partir da massa molar
dividida pela constante de Avogadro :
Agora aplico essas fórmulas passo a passo com os números.
Passo 3
Converter constantes e dados para SI e calcular a densidade numérica
.
Constantes e conversões relevantes:
Pressão em pascal:
Calcule
:
Agora a densidade numérica:
Passo 4
Calcular a massa de uma molécula de
.
Massa molar aproximada do
:
Logo
Passo 5
Calcular a velocidade média relativa
.
Primeiro escrevemos a expressão que vamos usar:
Calcular o numerador
:
Calcular
:
Agora a razão dentro da raiz:
E finalmente a velocidade média relativa:
Passo 6
Converter a seção eficaz dada para
.
Dado:
. Como
,
Passo 7
Calcular a frequência de colisões
.
Usando
substituindo os valores numéricos:
Primeiro
:
Multiplicando pela velocidade relativa:
Arredondando com dois algarismos significativos:
Passo 8
Comentário final e incentivo: o valor encontrado coincide com a resposta indicada no enunciado. Em linguagem simples, cada molécula em 15 km sofre quase um bilhão de colisões por segundo — bastante movimento! Vai dar tudo certo na prova; você tá fazendo o passo certo revisando exercícios assim.