A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação:
\Delta p(x, t)=(1,5 \mathrm{~Pa}) \operatorname{sen}(0,6 \pi x-206 \pi t),
onde x está em metro e o tempo em segundo. Determine (a) a amplitude da variação de pressão, a frequência e o comprimento de onda, (b) a velocidade da onda, (c) a equação da onda de deslocamento \mathbf{S}(\mathbf{x}, \mathbf{t}).

Passo 1

O enunciado dá a variação de pressão de uma onda sonora progressiva:
\Delta p(x,t)=(1,5\\ \mathrm{Pa})\sin(0,6\pi x-206\pi t),
com x em metro e t em segundo. Precisamos determinar:
(a) amplitude da variação de pressão, a frequência e o comprimento de onda; (b) velocidade da onda; (c) equação da onda de deslocamento S(x,t).

Passo 2

Identifico a forma padrão de uma onda harmônica progressiva unidimensional:
\Delta p(x,t)=p_{m}\sin(kx-\omega t),
onde p_{m} é a amplitude da pressão, k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}) e \omega é a pulsação (em \mathrm{rad/s}). Comparando com o enunciado:
p_{m}=1,5\\ \mathrm{Pa},\qquad k=0,6\pi\\ \mathrm{rad/m},\qquad \omega=206\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Amplitude da variação de pressão: explicação rápida — amplitude é o valor absoluto máximo que \Delta p alcança. Portanto
\text{Amplitude: }p_{m}=1,5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Frequência: a relação entre pulsação \omega e frequência f é
\omega=2\pi f.
Logo
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{206\pi}{2\pi}=103\\ \mathrm{Hz}.
Explicação: f é o número de oscilações por segundo.

Passo 5

Comprimento de onda: a relação entre k e \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=0,6\pi,
\lambda=\frac{2\pi}{0,6\pi}=\frac{2}{0,6}=\frac{10}{3}\\ \mathrm{m}\approx 3,3\overline{3}\\ \mathrm{m}.
Explicação: \lambda é a distância espacial entre pontos de mesma fase.

Passo 6

Velocidade da onda: pode-se usar v=\lambda f ou v=\omega/k. Vou mostrar as duas (são equivalentes).
Usando v=\lambda f:
v=\lambda f=\frac{10}{3}\cdot 103=\frac{1030}{3}=343,\overline{3}\\ \mathrm{m/s}.
Usando v=\frac{\omega}{k}:
v=\frac{206\pi}{0,6\pi}=\frac{206}{0,6}=343,\overline{3}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: v é a velocidade de propagação da onda no meio.

Passo 7

Queremos a equação do deslocamento longitudinal das partículas S(x,t). Relações importantes para uma onda sonora progressiva plana (pequena amplitude):
  • velocidade acústica do meio v (já calculada) e densidade do meio \rho definem a impedância acústica característica Z=\rho v.
  • para uma onda progressiva harmônica, a amplitude da velocidade das partículas u_{m} e a amplitude da pressão p_{m} estão relacionadas por
p_{m}=Z\,u_{m}=\rho v\,u_{m}.
  • a velocidade das partículas u(x,t) é a derivada temporal do deslocamento s(x,t):
u(x,t)=\frac{\partial s}{\partial t}.
  • para harmônicos, u_{m}=\omega s_{m}, onde s_{m} é a amplitude do deslocamento.
Combinando p_{m}=\rho v\,u_{m} e u_{m}=\omega s_{m}, obtemos
s_{m}=\frac{p_{m}}{\rho v\,\omega}.
Explicação: isto dá a amplitude do deslocamento em termos da amplitude de pressão e das propriedades do meio.

Passo 8

Fase e forma temporal: dado que \Delta p(x,t)=p_{m}\sin(kx-\omega t) e u(x,t) está em fase com \Delta p, temos
u(x,t)=u_{m}\sin(kx-\omega t),
com u_{m}=p_{m}/(\rho v). Integrando u=\partial s/\partial t em relação a t,
s(x,t)= -\frac{p_{m}}{\rho v\,\omega}\cos(kx-\omega t)+\text{constante}.
Escolhemos a constante igual a zero (deslocamento médio nulo), então a forma conveniente é
S(x,t)=-s_{m}\cos(kx-\omega t),\quad s_{m}=\frac{p_{m}}{\rho v\,\omega}.
Observação: o sinal e a função trigonométrica resultam da integração temporal (pressão em \sin \Rightarrow deslocamento em -\cos).

Passo 9

Cálculo numérico da amplitude do deslocamento. Vou assumir densidade do ar típica \rho=1,21\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão a temperatura ambiente). Já temos v=343,\overline{3}\\ \mathrm{m/s} e \omega=206\pi\\ \mathrm{rad/s}. Então
s_{m}=\frac{1,5}{1,21\cdot 343,\overline{3}\cdot 206\pi}\approx 5{,}58\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=5{,}58\\ \mu\mathrm{m}.
Portanto a equação do deslocamento fica
S(x,t)=-5{,}58\times 10^{-6}\cos(0,6\pi x-206\pi t)\\ \mathrm{m}.
Explicação: este valor é muito pequeno (micrométrico), como esperado para ondas sonoras de pressão pequena.

Resposta

(a) Amplitude da variação de pressão: p_{m}=1,5\\ \mathrm{Pa}; frequência: f=103\\ \mathrm{Hz}; comprimento de onda: \lambda=\dfrac{10}{3}\\ \mathrm{m}.
(b) Velocidade da onda: v=343,\overline{3}\\ \mathrm{m/s}.
(c) Equação do deslocamento (assumindo \rho=1,21\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
S(x,t)=-5{,}58\times 10^{-6}\cos(0,6\pi x-206\pi t)\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados