A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação:
onde x está em metro e o tempo em segundo. Determine (a) a amplitude da variação de pressão, a frequência e o comprimento de onda, (b) a velocidade da onda, (c) a equação da onda de deslocamento
.
Passo 1
O enunciado dá a variação de pressão de uma onda sonora progressiva:
com
em metro e
em segundo. Precisamos determinar:
(a) amplitude da variação de pressão, a frequência e o comprimento de onda; (b) velocidade da onda; (c) equação da onda de deslocamento .
(a) amplitude da variação de pressão, a frequência e o comprimento de onda; (b) velocidade da onda; (c) equação da onda de deslocamento
Passo 2
Identifico a forma padrão de uma onda harmônica progressiva unidimensional:
onde
é a amplitude da pressão,
é o número de onda (em
) e
é a pulsação (em
). Comparando com o enunciado:
Passo 3
Amplitude da variação de pressão: explicação rápida — amplitude é o valor absoluto máximo que
alcança. Portanto
Passo 4
Frequência: a relação entre pulsação
e frequência
é
Logo
Explicação:
é o número de oscilações por segundo.
Passo 5
Comprimento de onda: a relação entre
e
é
Substituindo
,
Explicação:
é a distância espacial entre pontos de mesma fase.
Passo 6
Velocidade da onda: pode-se usar
ou
. Vou mostrar as duas (são equivalentes).
Usando :
Usando
Usando
:
Explicação:
é a velocidade de propagação da onda no meio.
Passo 7
Queremos a equação do deslocamento longitudinal das partículas
. Relações importantes para uma onda sonora progressiva plana (pequena amplitude):
- velocidade acústica do meio
(já calculada) e densidade do meio definem a impedância acústica característica . - para uma onda progressiva harmônica, a amplitude da velocidade das partículas
e a amplitude da pressão estão relacionadas por
- a velocidade das partículas
é a derivada temporal do deslocamento :
- para harmônicos,
, onde é a amplitude do deslocamento.
Combinando
e
, obtemos
Explicação: isto dá a amplitude do deslocamento em termos da amplitude de pressão e das propriedades do meio.
Passo 8
Fase e forma temporal: dado que
e
está em fase com
, temos
com
. Integrando
em relação a
,
Escolhemos a constante igual a zero (deslocamento médio nulo), então a forma conveniente é
Observação: o sinal e a função trigonométrica resultam da integração temporal (pressão em
deslocamento em
).
Passo 9
Cálculo numérico da amplitude do deslocamento. Vou assumir densidade do ar típica
(valor padrão a temperatura ambiente). Já temos
e
. Então
Portanto a equação do deslocamento fica
Explicação: este valor é muito pequeno (micrométrico), como esperado para ondas sonoras de pressão pequena.
Resposta
(a) Amplitude da variação de pressão:
; frequência:
; comprimento de onda:
.
(b) Velocidade da onda: .
(c) Equação do deslocamento (assumindo ):
(b) Velocidade da onda:
(c) Equação do deslocamento (assumindo