Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por: y_{1}=0,05 \cos (\pi x-4 \pi t) e y_{2}=0,05 \cos (\pi x+4 \pi t), onde x, y_{1} e y_{2} estão em metros e t em segundos. (a) Qual a equação da onda estacionária. (b) Qual os dois menores valores positivos de \mathbf{x} que corresponde a pontos de nós e a pontos de ventres? (c) Em quais instantes no intervalo \mathbf{0} \leq \mathbf{t} \leq \mathbf{1 . 0} seg, a partícula em \mathbf{x = 0} terá velocidade máxima em módulo?
Passo 1
O enunciado dá duas ondas transversais progressivas:
y_{1}=0,05\cos\bigl(\pi x-4\pi t\bigr)
y_{2}=0,05\cos\bigl(\pi x+4\pi t\bigr)
com x e y em metros e t em segundos. Ele pede:
(a) a equação da onda estacionária resultante da soma y=y_{1}+y_{2};
(b) os dois menores valores positivos de x que correspondem a pontos de nós e aos pontos de ventres (antinós);
(c) em quais instantes no intervalo 0\le t\le 1{,}0 s a partícula em x=0 terá velocidade máxima em módulo.
Passo 2
Vamos somar as duas ondas usando a identidade trigonométrica para soma de cossenos. A identidade é:
\cos A+\cos B = 2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr)
Aqui tomamos A=\pi x-4\pi t e B=\pi x+4\pi t. Calculamos as médias:
\frac{A+B}{2}=\frac{(\pi x-4\pi t)+(\pi x+4\pi t)}{2}=\pi x
\frac{A-B}{2}=\frac{(\pi x-4\pi t)-(\pi x+4\pi t)}{2}=-4\pi t
Como \cos(-4\pi t)=\cos(4\pi t), aplicando a identidade:
Explicando: a forma y(x,t)=\text{(amplitude espacial)}\times\text{(fator temporal)} é a característica de uma onda estacionária. O termo \cos(\pi x) determina onde a amplitude (envelope) é nula ou máxima em x; o termo \cos(4\pi t) descreve a oscilação temporal em cada ponto.
Passo 3
Agora identificamos os nós. Definição prática: nó é um ponto onde a amplitude espacial é sempre zero, ou seja, para todo t a deflexão é zero. Na nossa equação isso ocorre quando a amplitude espacial \cos(\pi x) é zero:
\cos(\pi x)=0
As soluções gerais são
\pi x = \frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\text{com }n\in\mathbb{Z}
\Rightarrow\; x=\frac{2n+1}{2}
Para os dois menores valores positivos tomamos n=0 e n=1:
n=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{m}
n=1\Rightarrow x=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \text{m}
Portanto os dois menores x>0 que são nós são x=\tfrac{1}{2} m e x=\tfrac{3}{2} m.
Passo 4
Agora os ventres (antinós). Definição prática: ventre é ponto onde a amplitude absoluta é máxima, isto é, |\cos(\pi x)|=1. Isso ocorre quando
\cos(\pi x)=\pm 1
As soluções são
\pi x = n\pi\quad\Rightarrow\; x=n\quad\text{com }n\in\mathbb{Z}
Os menores valores positivos são n=1 e n=2, ou seja
x=1\\ \text{m}\quad\text{e}\quad x=2\\ \text{m}.
(obs.: x=0 é também um ventre, mas a pergunta pediu valores positivos.)
Passo 5
Parte (c): queremos os instantes em 0\le t\le 1{,}0 s em que a partícula em x=0 tem velocidade máxima em módulo. Primeiro avaliamo y em x=0:
O módulo de v é máximo quando |\sin(4\pi t)|=1. As soluções para \sin\theta=\pm 1 são \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. Tomando \theta=4\pi t:
4\pi t = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{8}+\frac{k}{4}.
Precisamos dos t no intervalo 0\le t\le 1{,}0. Tomando k=0,1,2,3 obtemos:
k=0\Rightarrow t=\frac{1}{8}=0{,}125\\ \text{s}
k=1\Rightarrow t=\frac{3}{8}=0{,}375\\ \text{s}
k=2\Rightarrow t=\frac{5}{8}=0{,}625\\ \text{s}
k=3\Rightarrow t=\frac{7}{8}=0{,}875\\ \text{s}
Para k=4 temos t=1{,}125>1{,}0 s, fora do intervalo. Observação adicional útil na prova: a amplitude máxima da velocidade em x=0 é |v|_{\max}=\omega A=4\pi\cdot 0{,}10=0{,}4\pi\\ \text{m/s} (aprox. 1{,}2566\\ \text{m/s}).
Resposta
(a) y=0{,}10\cos(\pi x)\cos(4\pi t).
(b) Nós (dois menores x>0): x=\dfrac{1}{2}\\ \text{m} e x=\dfrac{3}{2}\\ \text{m}. Ventres (dois menores x>0): x=1\\ \text{m} e x=2\\ \text{m}.