A pressão osmótica de uma solução de poli(isobutileno) em benzeno foi medida a 25^{\circ} \mathrm{C}. Uma amostra contendo 20 \mathrm{~g} de soluto por litro de solução apresentou uma pressão osmótica correspondente a uma coluna de 2,4 \mathrm{~cm} de solução. A massa específica da solução era 0,88 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}. Calcule a massa molar do poli(isobutileno).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a massa molar do poli(isobutileno).
Informações dadas (peguei esses números do enunciado):
  • Massa de soluto por litro de solução: 20\\ \mathrm{g\; por\; L}.
  • A pressão osmótica corresponde a uma coluna de solução de altura 2,4\\ \mathrm{cm}.
  • Massa específica (densidade) da solução: 0,88\\ \mathrm{g\;cm^{-3}}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
Observação importante: a pressão osmótica é dada indiretamente pela altura da coluna de solução; vamos usar essa altura e a densidade para obter a pressão em unidades de pressão (Pascal). Depois relacionamos a pressão osmótica com a massa molar por meio da equação de van ’t Hoff para soluções diluídas.

Passo 2

Converter a altura da coluna e a densidade para unidades SI e calcular a pressão osmótica como pressão hidrostática.
Fórmula da pressão hidrostática:
\Pi = \rho\, g\, h
onde:
  • \Pi é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade da solução (kg·m^{-3}),
  • g é a aceleração da gravidade (m·s^{-2}),
  • h é a altura da coluna (m).
Converter os dados para SI:
  • \rho = 0,88\\ \mathrm{g\;cm^{-3}} = 0,88\times 1000\\ \mathrm{kg\;m^{-3}} = 880\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
  • h = 2,4\\ \mathrm{cm} = 0,024\\ \mathrm{m}.
  • Usar g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m\;s^{-2}}.
Calcular \Pi:
\Pi = 880 \times 9{,}81 \times 0{,}024.
Fazendo as contas passo a passo:
9{,}81\times 0{,}024 = 0{,}23544,
880\times 0{,}23544 = 207{,}1872\\ \mathrm{Pa}.
Assim,
\Pi \approx 207{,}2\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Relacionar a pressão osmótica com a massa molar usando a lei de van ’t Hoff (válida para soluções suficientemente diluídas de polímero, considerando comportamento ideal de soluto em número de partículas):
A equação é
\Pi = c_{\text{mol}}\,R\,T,
onde:
  • \Pi é a pressão osmótica (Pa),
  • c_{\text{mol}} é a concentração em mol·m^{-3},
  • R é a constante dos gases ideais (R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin.
Queremos a massa molar M (em \mathrm{g\;mol^{-1}}). A concentração molar em mol·m^{-3} é a massa de soluto por volume dividida por M. Tomando a massa dada como 20\\ \mathrm{g} por litro, primeiro converter para \mathrm{g\;m^{-3}}:
20\\ \mathrm{g\;L^{-1}} = 20\\ \text{g por }1\\ \mathrm{L} = \frac{20\\ \text{g}}{1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}} = 20000\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Logo a concentração molar é
c_{\text{mol}} = \frac{20000}{M}\\ \mathrm{mol\;m^{-3}},
onde M está em \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Substituindo em \Pi = c_{\text{mol}} R T:
\Pi = \frac{20000}{M}\,R\,T.
Isolando M:
M = \frac{20000\,R\,T}{\Pi}.
Explicar as constantes e cifras:
  • R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • \Pi calculada no passo anterior \approx 207{,}1872\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular numericamente M com cuidado nas contas.
Primeiro calcular R\,T:
R\,T = 8{,}314 \times 298{,}15 \approx 2478{,}82\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Agora o numerador:
20000 \times R\,T \approx 20000 \times 2478{,}82 = 49\,576\,400.
Dividindo pela pressão:
M = \frac{49\,576\,400}{207{,}1872} \approx 239\,400\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos):
M \approx 2{,}39\times 10^{5}\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Resposta

2{,}39\times 10^{5}\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}

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