A pressão e a temperatura de um escoamento a montante de uma aeronave (não-perturbado) correspondem as condições ao nível do mar na atmosfera padrão. A temperatura num ponto da asa é 250K. Qual a pressão nesse ponto?

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a pressão num ponto da asa onde a temperatura é \,250\\ \text{K}. As informações fornecidas são:
  • As condições do escoamento a montante (não perturbado) são as condições ao nível do mar da atmosfera padrão, ou seja:
    \;T_\infty = 288,15\\ \text{K} e \;p_\infty = 101325\\ \text{Pa}.
  • A temperatura no ponto da asa vale \;T = 250\\ \text{K}.
    A pergunta é: qual a pressão \;p nesse ponto?

Passo 2

Escolha do método e hipótese física (explicando como raciocinar na prova).
  • Quando não é dito o contrário, é habitual assumir que o escoamento em torno da asa, longe de choques ou forte dissipação, pode ser tratado como isentrópico (adiabático e reversível) e o ar como gás perfeito com razão de calores específica \;\gamma = 1,4 (valor padrão para ar seco).
  • Sob a hipótese isentrópica existe uma relação direta entre pressão e temperatura estáticas locais e as do escoamento a montante, que usaremos para obter \;p a partir de \;T.
  • Eu explico e uso esse método porque é o mais simples e padrão para estimativas em aerodinâmica sub-sônica sem choques; é o que o professor provavelmente espera numa prova curta.

Passo 3

Derivação da relação isentrópica (aulas passo a passo).
  • Para um processo isentrópico do gás perfeito vale que \;p/\rho^\gamma = \text{constante}, onde \;p é pressão, \;\rho é densidade e \;\gamma é a razão de calores.
  • Também temos a equação dos gases perfeitos \;p = \rho R T, onde \;R é a constante específica do gás e \;T a temperatura absoluta.
  • Substituindo \;\rho = p/(R T) em \;p/\rho^\gamma=\text{constante} obtemos: p\Big(\frac{p}{R T}\Big)^{-\gamma}=\text{constante}que leva a p^{1-\gamma}(R T)^\gamma=\text{constante}.
  • Dividindo por uma referência (por exemplo os valores a montante \;p_\infty,T_\infty) e reorganizando, chega-se à forma conveniente: \frac{T}{T_\infty}=\Big(\frac{p}{p_\infty}\Big)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Essa é a fórmula que relaciona temperatura e pressão em escoamento isentrópico; aqui \;T e \;p são valores locais e \;T_\infty,p_\infty são os valores de referência a montante.

Passo 4

Isolando \;p na relação e substituindo \;\gamma.
  • A partir de \;\dfrac{T}{T_\infty}=\Big(\dfrac{p}{p_\infty}\Big)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} isolamos \;p: \frac{p}{p_\infty}=\Big(\frac{T}{T_\infty}\Big)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}},portanto p = p_\infty \Big(\frac{T}{T_\infty}\Big)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
  • Para o ar tomamos \;\gamma=1,4, logo o expoente é \frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{1,4}{0,4}=3,5.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro a razão de temperaturas: \frac{T}{T_\infty}=\frac{250}{288,15}\approx 0,867041.
  • Elevar essa razão a 3,5. Vou usar logaritmos naturais para mostrar o procedimento que dá um resultado preciso: \ln\!\Big(0,867041\Big)\approx -0,141918,
3,5\cdot\ln\!\Big(0,867041\Big)\approx -0,496713,
\Big(0,867041\Big)^{3,5}=\exp(-0,496713)\approx 0,6086.
  • Agora multiplico pela pressão de referência: p = 101325 \times 0,6086 \approx 61662\\ \text{Pa}.

Passo 6

Interpretação física rápida e checagem.
  • O resultado \;p\approx 6,17\times 10^{4}\\ \text{Pa} (ou \;61,7\\ \text{kPa}) faz sentido fisicamente: como a temperatura local é menor que a do escoamento a montante, a pressão local também diminui sob a hipótese isentrópica.
  • Se você precisar arredondar na prova, use \;p\approx 6,2\times 10^{4}\\ \text{Pa} ou \;62\\ \text{kPa} dependendo das cifras significativas exigidas.

Resposta

p \approx 6,17\times 10^{4}\\ \text{Pa} (≈ 61,7\\ \text{kPa})

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