Em um túnel de vento subsônico há um manômetro de mercúrio onde uma extremidade está conectada a câmara de ensaio e a outra está aberta a atmosfera do laboratório. A razão de contração do túnel é
. A pressão e a temperatura ambientes no laboratório são 1.1atm e 300 K . Quando o túnel está em funcionamento, a diferença entre as colunas de mercúrio é 07 cm . Sendo a densidade do mercúrio
, calcule a velocidade e o número de Mach de escoamento na seção de ensaios.
Passo 1
Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (vou escrever todos os números em unidades do SI):
Constantes úteis que usarei:
e
.
O que se pede:
O que se pede:
- velocidade do escoamento na seção de ensaios;
- número de Mach na seção de ensaios.
Passo 2
Interpretação física do manômetro e cálculo da diferença de pressão entre atmosfera e a seção de ensaios.
Um manômetro de mercúrio mede a diferença de pressão estática entre as duas extremidades pela coluna de fluido: a diferença de pressão é dada por
Um manômetro de mercúrio mede a diferença de pressão estática entre as duas extremidades pela coluna de fluido: a diferença de pressão é dada por
Substituindo os valores:
Faço a conta passo a passo:
Logo
Passo 3
Determinar a pressão estática na seção de ensaios. Como uma extremidade do manômetro está aberta à atmosfera, a diferença medida é
Converto a pressão atmosférica para pascal:
Então
Passo 4
Escolha do método para obter a velocidade e justificativa didática.
Opções: usar Bernoulli incompressível (fórmula simples) ou usar relações isentrópicas compressíveis (mais corretas quando ). Vou verificar rapidamente: se aplicássemos Bernoulli incompressível teríamos uma velocidade da ordem de centenas de m/s, o que pode levar a
perto de
ou maior. Nesses casos é melhor usar a relação isentrópica entre pressão total (estagnação) e pressão estática, porque a compressibilidade começa a importar. Como a extremidade do manômetro está na atmosfera grande (velocidade desprezível), podemos considerar que
representa a pressão total/contexto de referência (pressão de reservatório), e usar a relação isentrópica para ar perfeito:
Opções: usar Bernoulli incompressível (fórmula simples) ou usar relações isentrópicas compressíveis (mais corretas quando
onde
é a pressão total (aqui
),
é a pressão estática na seção (aqui
),
é a razão de calores específicos do ar (assumo
) e
é o número de Mach na seção. Vamos usar essa relação para achar
de forma direta e mais precisa.
Passo 5
Aplicar a relação isentrópica e resolver para
. Primeiro calculo a razão de pressões:
A relação isentrópica pode ser reescrita isolando o termo com
:
Com
temos
. Então
Calculo a potência (faço os passos numéricos):
Logo
Assim
Passo 6
Calcular a velocidade a partir do número de Mach. A velocidade do som no ar perfeito vale
onde
é a constante específica do ar
. Substituindo:
A velocidade do escoamento é
Passo 7
Observação de auto-checagem (rápida e educativa): se tivéssemos usado Bernoulli incompressível simples com densidade do ar baseada em
e
, chegaríamos a um valor levemente maior (cerca de
). A diferença é pequena (alguns
) mas a abordagem isentrópica é mais correta para
desta ordem. Você pode usar a versão simplificada em provas rápidas, mas se a questão pede Mach, o caminho isentrópico é o indicado.