Em um túnel de vento subsônico há um manômetro de mercúrio onde uma extremidade está conectada a câmara de ensaio e a outra está aberta a atmosfera do laboratório. A razão de contração do túnel é 1 / 15. A pressão e a temperatura ambientes no laboratório são 1.1atm e 300 K . Quando o túnel está em funcionamento, a diferença entre as colunas de mercúrio é 07 cm . Sendo a densidade do mercúrio 13,6 \times 10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, calcule a velocidade e o número de Mach de escoamento na seção de ensaios.

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (vou escrever todos os números em unidades do SI):
\text{Razão de contração} = \frac{1}{15}ãçã
p_{\text{atm}} = 1,1\\ \text{atm}
T = 300\\ \text{K}
\text{diferença de mercúrio } h = 07\\ \text{cm} = 0,07\\ \text{m}çú
\rho_{\text{Hg}} = 13,6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}
Constantes úteis que usarei: 1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se pede:
  • velocidade do escoamento na seção de ensaios;
  • número de Mach na seção de ensaios.

Passo 2

Interpretação física do manômetro e cálculo da diferença de pressão entre atmosfera e a seção de ensaios.
Um manômetro de mercúrio mede a diferença de pressão estática entre as duas extremidades pela coluna de fluido: a diferença de pressão é dada por
\Delta p = \rho_{\text{Hg}}\,g\,h.
Substituindo os valores:
\Delta p = \left(13,6\times10^{3}\right)\times 9,81 \times 0,07\\ \mathrm{Pa}.
Faço a conta passo a passo:
13,6\times10^{3}\times 9,81 = 133\,416\\ \mathrm{Pa/m},
133\,416\times 0,07 = 9\,339{,}12\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\Delta p \approx 9\,339\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Determinar a pressão estática na seção de ensaios. Como uma extremidade do manômetro está aberta à atmosfera, a diferença medida é
\Delta p = p_{\text{atm}} - p_{\text{ensaio}}.
Converto a pressão atmosférica para pascal:
p_{\text{atm}} = 1{,}1\times 101\,325 = 111\,457{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Então
p_{\text{ensaio}} = p_{\text{atm}} - \Delta p = 111\,457{,}5 - 9\,339{,}12 = 102\,118{,}38\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Escolha do método para obter a velocidade e justificativa didática.
Opções: usar Bernoulli incompressível (fórmula simples) ou usar relações isentrópicas compressíveis (mais corretas quando M\gtrsim 0{,}3). Vou verificar rapidamente: se aplicássemos Bernoulli incompressível teríamos uma velocidade da ordem de centenas de m/s, o que pode levar a M perto de 0{,}3 ou maior. Nesses casos é melhor usar a relação isentrópica entre pressão total (estagnação) e pressão estática, porque a compressibilidade começa a importar. Como a extremidade do manômetro está na atmosfera grande (velocidade desprezível), podemos considerar que p_{\text{atm}} representa a pressão total/contexto de referência (pressão de reservatório), e usar a relação isentrópica para ar perfeito:
\frac{p_{0}}{p}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right)^{\gamma/(\gamma-1)},
onde p_{0} é a pressão total (aqui p_{\text{atm}}), p é a pressão estática na seção (aqui p_{\text{ensaio}}), \gamma é a razão de calores específicos do ar (assumo \gamma=1{,}4) e M é o número de Mach na seção. Vamos usar essa relação para achar M de forma direta e mais precisa.

Passo 5

Aplicar a relação isentrópica e resolver para M. Primeiro calculo a razão de pressões:
\frac{p_{0}}{p}=\frac{p_{\text{atm}}}{p_{\text{ensaio}}}=\frac{111\,457{,}5}{102\,118{,}38}=1{,}09144\\ (\text{aprox.}).
A relação isentrópica pode ser reescrita isolando o termo com M:
1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}=\left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
Com \gamma=1{,}4 temos (\gamma-1)/\gamma=0{,}4/1{,}4=0{,}285714. Então
1+\frac{0{,}4}{2}M^{2}=1+\;0{,}2\,M^{2}=\left(1{,}09144\right)^{0{,}285714}.
Calculo a potência (faço os passos numéricos):
\left(1{,}09144\right)^{0{,}285714}\approx 1{,}02536.
Logo
1+0{,}2\,M^{2}=1{,}02536 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2\,M^{2}=0{,}02536.
Assim
M^{2}=\frac{0{,}02536}{0{,}2}=0{,}1268\quad\Rightarrow\quad M\approx\sqrt{0{,}1268}=0{,}356.

Passo 6

Calcular a velocidade a partir do número de Mach. A velocidade do som no ar perfeito vale
a=\sqrt{\gamma R T},
onde R é a constante específica do ar (R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Substituindo:
a=\sqrt{1{,}4\times 287 \times 300}=\sqrt{120\,540}\\ \mathrm{m/s}\approx 347{,}2\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade do escoamento é
v = M\,a = 0{,}356\times 347{,}2\\ \mathrm{m/s}\approx 123{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Observação de auto-checagem (rápida e educativa): se tivéssemos usado Bernoulli incompressível simples com densidade do ar baseada em p_{\text{ensaio}} e T, chegaríamos a um valor levemente maior (cerca de 125{,}5\\ \mathrm{m/s}). A diferença é pequena (alguns \%) mas a abordagem isentrópica é mais correta para M desta ordem. Você pode usar a versão simplificada em provas rápidas, mas se a questão pede Mach, o caminho isentrópico é o indicado.

Resposta

v \approx 123{,}6\\ \mathrm{m/s}
M \approx 0{,}356

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