Considere um escoamento de ar através de um duto convergente-divergente (tubo de Venturi). As seções transversais da entrada, da garganta e da saída são:
e
. As pressões nas seções de entrada e saída são
e
. Calcule a velocidade de escoamento e a pressão estática na garganta e a vazão em massa do escoamento, considerando escoamento incompressível e condições da atmosfera padrão ao nível do mar.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede coisas bem específicas.
Dados:
Condição adicional pedida no enunciado: escoamento incompressível e condições padrão ao nível do mar. Vou usar a densidade do ar padrão:
Perguntas (o que precisamos calcular):
- Velocidade de escoamento na garganta (seção 2):
. - Pressão estática na garganta (seção 2):
. - Vazão mássica do escoamento:
.
Passo 2
Princípio que liga áreas e velocidades: continuidade para escoamento incompressível e estacionário. A massa que entra por unidade de tempo é a mesma em todas as seções, portanto
Dessa igualdade podemos expressar
e
em termos de
:
Vou usar essas relações para eliminar
e
e trabalhar somente com
.
Explicação rápida do porquê: se um duto afunila (menor área) a velocidade aumenta para que o mesmo volume/masa passe por segundo. A continuidade é só a expressão matemática disso.
Passo 3
Princípio energético: Bernoulli (para escoamento incompressível, sem troca de calor e sem perda por atrito, entre pontos ao mesmo nível). A forma útil é
Aplicando entre as seções 1 e 3:
Agora substituímos
e
em função de
usando as relações do passo anterior:
Isolamos
. Reescrevendo:
Observação: o termo entre colchetes pode ser negativo — isso é esperado se a velocidade em 1 for menor que em 3, e o sinal de
também será consistente.
Passo 4
Agora calculamos numericamente passo a passo.
Calcule os quocientes de áreas:
Diferença:
O lado direito da equação de Bernoulli entre 1 e 3 é
Substituindo na equação para
:
Multiplicando por
e isolando
:
Agora substituímos
:
Portanto
Passo 5
Agora que temos
, calculamos a pressão na garganta
usando Bernoulli entre seção 1 e seção 2:
Lembrando que
, temos
Logo
Substituindo números (
):
Portanto
Passo 6
Cálculo da vazão mássica
. A vazão mássica é
Substituindo os valores:
Primeiro
.
Então
Então
Passo 7
Breve verificação (cheque rápido): calcule
e
para ver coerência dos sinais.
Como
e
(novamente coerente com Bernoulli), os resultados fazem sentido físico para um Venturi com essa variação de área.