Considere um escoamento de ar através de um duto convergente-divergente (tubo de Venturi). As seções transversais da entrada, da garganta e da saída são: 3 \mathrm{~m}^{2}, 1,5 \mathrm{~m}^{2} e 2 \mathrm{~m}^{2}. As pressões nas seções de entrada e saída são 1,02 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e 1,00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Calcule a velocidade de escoamento e a pressão estática na garganta e a vazão em massa do escoamento, considerando escoamento incompressível e condições da atmosfera padrão ao nível do mar.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede coisas bem específicas.
Dados:
A_1 = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2,\qquad A_2 = 1{,}5\\ \mathrm{m}^2,\qquad A_3 = 2{,}0\\ \mathrm{m}^2
P_1 = 1{,}02\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_3 = 1{,}00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
Condição adicional pedida no enunciado: escoamento incompressível e condições padrão ao nível do mar. Vou usar a densidade do ar padrão:
\rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
Perguntas (o que precisamos calcular):
  1. Velocidade de escoamento na garganta (seção 2): \displaystyle V_2.
  2. Pressão estática na garganta (seção 2): \displaystyle P_2.
  3. Vazão mássica do escoamento: \displaystyle \dot m.

Passo 2

Princípio que liga áreas e velocidades: continuidade para escoamento incompressível e estacionário. A massa que entra por unidade de tempo é a mesma em todas as seções, portanto
A_1 V_1 = A_2 V_2 = A_3 V_3.
Dessa igualdade podemos expressar V_1 e V_3 em termos de V_2:
V_1 = \frac{A_2}{A_1}\,V_2,\qquad V_3 = \frac{A_2}{A_3}\,V_2.
Vou usar essas relações para eliminar V_1 e V_3 e trabalhar somente com V_2.
Explicação rápida do porquê: se um duto afunila (menor área) a velocidade aumenta para que o mesmo volume/masa passe por segundo. A continuidade é só a expressão matemática disso.

Passo 3

Princípio energético: Bernoulli (para escoamento incompressível, sem troca de calor e sem perda por atrito, entre pontos ao mesmo nível). A forma útil é
P + \tfrac{1}{2}\rho V^2 = \text{constante (ao longo da linha de corrente)}.
Aplicando entre as seções 1 e 3:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho V_1^2 = P_3 + \tfrac{1}{2}\rho V_3^2.
Agora substituímos V_1 e V_3 em função de V_2 usando as relações do passo anterior:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(\frac{A_2}{A_1}V_2\right)^{\!2} \;=\; P_3 + \tfrac{1}{2}\rho\left(\frac{A_2}{A_3}V_2\right)^{\!2}.
Isolamos V_2^2. Reescrevendo:
\tfrac{1}{2}\rho V_2^2\left[\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{\!2}-\left(\frac{A_2}{A_3}\right)^{\!2}\right] = P_3 - P_1.
Observação: o termo entre colchetes pode ser negativo — isso é esperado se a velocidade em 1 for menor que em 3, e o sinal de P_3-P_1 também será consistente.

Passo 4

Agora calculamos numericamente passo a passo.
Calcule os quocientes de áreas:
\frac{A_2}{A_1}=\frac{1{,}5}{3{,}0}=0{,}5,\qquad \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{\!2}=0{,}25,
\frac{A_2}{A_3}=\frac{1{,}5}{2{,}0}=0{,}75,\qquad \left(\frac{A_2}{A_3}\right)^{\!2}=0{,}5625.
Diferença:
\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{\!2}-\left(\frac{A_2}{A_3}\right)^{\!2} =0{,}25-0{,}5625=-0{,}3125.
O lado direito da equação de Bernoulli entre 1 e 3 é
P_3-P_1 = 1{,}00\times 10^{5}-1{,}02\times 10^{5} = -2000\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo na equação para V_2^2:
\tfrac{1}{2}\rho V_2^2(-0{,}3125) = -2000.
Multiplicando por -1 e isolando V_2^2:
\tfrac{1}{2}\rho V_2^2(0{,}3125) = 2000 \qquad\Rightarrow\qquad V_2^2 = \frac{2000\times 2}{\rho\times 0{,}3125} = \frac{4000}{\rho\cdot 0{,}3125}.
Agora substituímos \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}:
V_2^2 = \frac{4000}{1{,}225\times 0{,}3125} = \frac{4000}{0{,}3828125} \approx 10452{,}63\\ (\mathrm{m^2\!/\!s^2}).
Portanto
V_2 \approx \sqrt{10452{,}63}\\ \mathrm{m/s}\approx 102{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora que temos \,V_2, calculamos a pressão na garganta P_2 usando Bernoulli entre seção 1 e seção 2:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho V_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho V_2^2 \quad\Rightarrow\quad P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(V_1^2 - V_2^2\right).
Lembrando que V_1 = \dfrac{A_2}{A_1}V_2 = 0{,}5\,V_2, temos
V_1^2 - V_2^2 = (0{,}5^2 - 1)\,V_2^2 = (-0{,}75)\,V_2^2.
Logo
P_2 = P_1 - \tfrac{1}{2}\rho\cdot 0{,}75\,V_2^2 = P_1 - 0{,}375\,\rho\,V_2^2.
Substituindo números ( V_2^2\approx 10452{,}63):
0{,}375\cdot\rho\cdot V_2^2 \approx 0{,}375\times 1{,}225\times 10452{,}63 \approx 4801{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
P_2 \approx 1{,}02\times 10^{5} - 4801{,}5 \\ \mathrm{Pa} \approx 9{,}7198\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} \approx 97{,}200\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{arredondando}).

Passo 6

Cálculo da vazão mássica \dot m. A vazão mássica é
\dot m = \rho A_2 V_2.
Substituindo os valores:
\dot m \approx 1{,}225\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\times 1{,}5\\ \mathrm{m^2}\times 102{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro A_2 V_2 \approx 1{,}5\times 102{,}2 \approx 153{,}3\\ \mathrm{m^3/s}.
Então
\dot m \approx 1{,}225\times 153{,}3 \approx 187{,}3\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Breve verificação (cheque rápido): calcule V_1 e V_3 para ver coerência dos sinais.
V_1 = 0{,}5\,V_2\approx 51{,}1\\ \mathrm{m/s},\qquad V_3 = 0{,}75\,V_2\approx 76{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Como V_1<V_3<V_2 e P_1>P_2>P_3 (novamente coerente com Bernoulli), os resultados fazem sentido físico para um Venturi com essa variação de área.

Resposta

V_2 \approx 102{,}2\\ \mathrm{m/s}
P_2 \approx 9{,}72\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
\dot m \approx 187{,}3\\ \mathrm{kg/s}

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