Pretende-se aquecer pequenas esferas de aço de 10 mm de diâmetro externo em um forno de convecçâ forçada. No interior do forno, ar escoa na velocidade de 15 m / s e na temperatura de 6 Q p^circ C. Considerando que a temperatura inicial das esferas é de 30^circ C, determine o tempo hecessário para que eles atinjam 450^circ C. São fornecidas as propriedades do aço: k=40 W / m cdot K, rho=7800 kg / m^3 e C p=600 J / kg K. Já as propriedades do ar na temperatura do filme são: rho=0,486 kg / m^3, mu=385,1 cdot 10^-7 N s / m^2, muS=159,6 cdot 10^-7 N s / m^2, k=47,1 cdot 10^-3 W / m K е Pr=0,71.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem umas bolinhas de aço de 10 mm de diâmetro (d = 0,01 m) que começam a 30 °C e o forno joga ar a uns 600 °C (vou assumir que “6Qp °C” é 600 °C) a 15 m/s. O objetivo é descobrir quanto tempo leva para chegar a 450 °C.
Conteúdo: transferência de calor transitória em corpos pequenos (método da capacitância térmica, “lumped capacitance”).
O que precisamos:
  1. Calcular o coeficiente de convecção h usando correlação (Ranz–Marshall) para esfera.
  2. Verificar o número de Biot (Bi<0,1 → lumped OK).
  3. Usar a equação do método lumped: T(t)-TinftyTi-Tinfty = exp(-hArho V Cp,t)

Passo 2

Primeiro, o coeficiente de convecção h. A gente usa:
Re = rho,V,dmu,
Nu = 2 + 0.6,Re^1/2,Pr^1/3,
h = Nu,krm ard
Substituindo:
– ρ_ar = 0,486 kg/m³, V = 15 m/s, d = 0,01 m, μ = 3,851×10⁻⁵ Pa·s, Pr = 0,71, k_ar = 0,0471 W/m·K.
Re = 0.486cdot15cdot0.013.851times10^-5 approx 1,9times10^3,
Nu = 2 + 0.6,(1.9times10^3)^0.5,0.71^1/3 approx 25,4,
h = 25.4cdot0.04710.01 approx 119,4;W/m^2K

Passo 3

Verifico o número de Biot pra saber se posso tratar a esfera como “todo com a mesma temperatura”:
Bi = h,Lckrm aço, Lc = VA = d/61 = d6 = 0.001667;m,ç
com k_aço = 40 W/m·K, então
Bi = 119.4cdot0.00166740 approx 2.0times10^-4 ll 0.1
Como Bi está muito abaixo de 0,1, podemos usar o modelo lumped.

Passo 4

Agora a equação de resfriamento/aquecimento lumped:
T(t)-TinftyTi-Tinfty = exp(-hArho,V,Cp,t)
Calculo as grandezas da esfera:
– Área: A = 4pi r^2 = 4pi(0.005)^2 = 3,14times10^-4;m^2.
– Volume: V = tfrac43pi r^3 = 5,24times10^-7;m^3.
– Massa·Cp: ρ_aço·V·Cp = 7800·5,24×10⁻⁷·600 ≈ 2,45 J/K.
– hA = 119,4·3,14×10⁻⁴ ≈ 0,0375 W/K.
Logo, a constante de decaimento é
hArho V Cp = 0.03752.45 approx 0.0153;s^-1,
e a solução para atingir T(t)=450 °C partindo de Ti=30 °C com T∞=600 °C é
450 - 600 = (30 - 600),exp(-0.0153,t)
-150-570 = exp(-0.0153,t)
exp(-0.0153,t) = 0.2632
-0.0153,t = ln(0.2632) = -1.337
t = 1.3370.0153 approx 87;s

Resposta

Cerca de 87 segundos (aprox. 1,5 minutos) para as esferas atingirem 450 °C.

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