Pretende-se calcular a energia electrostática
de uma esfera de raio
e de densidade de carga
uniforme, colocada no vácuo.
Obtenha
usando a lei
ou calculando o trabalho necessário para carregar a esfera, a partir de
.
Obtenha
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente achar a energia eletrostática
de uma esfera de raio
e densidade de carga uniforme
no vácuo. Isso é eletrostática clássica: precisamos conhecer o potencial elétrico
gerado por essa distribuição e aplicar a fórmula
Então vamos precisar de:
1) A carga total
2) O campo
3) O potencial
4) Por fim, a integral de
Passo 2
Primeiro, a carga total da esfera é
Passo 3
Usando a lei de Gauss, para
(dentro da esfera) temos
logo
Para
Passo 4
Agora, o potencial
, lembrando que
e
.
- Para
:
$$V®=\int_\infty^r -E(r’),\mathrm dr’
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r},.
V®=V®+\int_R^r -E(r’),\mathrm dr’
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}
-\int_R^r\frac{\rho,r’}{3\varepsilon_0},\mathrm dr’,.
\int_R^r r’,\mathrm dr’=\frac{r2-R2}{2}, $$
chegamos a
Passo 5
Chegou a hora de calcular
$$U=\frac12\int_{esfera}\rho,V®,4\pi r^2,\mathrm dr
=\frac12\cdot4\pi\rho\int_0^R V®,r^2,\mathrm dr,.
U=\frac{2\pi\rho2}{6\varepsilon_0}\int_0R(3R2-r2),r^2,\mathrm dr
=\frac{\pi\rho2}{3\varepsilon_0}\Bigl[3R2!\int_0^R r^2dr
-!\int_0^R r^4dr\Bigr].
\int_0^R r2dr=\frac{R3}{3},\quad
\int_0^R r4dr=\frac{R5}{5}.
3R2\cdot\frac{R3}{3}-\frac{R5}{5}=R5-\frac{R5}{5}=\frac{4R5}{5},. $$
Então
$$U=\frac{\pi\rho2}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{4R5}{5}
=\frac{4\pi\rho2R5}{15,\varepsilon_0},. $$
Passo 6
Por fim, podemos reescrever
em função de
. Como
temos
$$U=\frac{4\pi}{15\varepsilon_0},\Bigl(\frac{3Q}{4\pi R3}\Bigr)2R^5
=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0,R}
=\frac35;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q^2}{R},. $$