Pretende-se calcular a energia electrostática U de uma esfera de raio R e de densidade de carga rho uniforme, colocada no vácuo.
Obtenha U usando a lei U=12 integral rho V d v ou calculando o trabalho necessário para carregar a esfera, a partir de U=integral0^Q V d q.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente achar a energia eletrostática U de uma esfera de raio R e densidade de carga uniforme rho no vácuo. Isso é eletrostática clássica: precisamos conhecer o potencial elétrico V( r) gerado por essa distribuição e aplicar a fórmula
U=12integral rho,V,dv,
Então vamos precisar de:
1) A carga total Q em termos de rho;
2) O campo E(r) por meio da lei de Gauss;
3) O potencial V(r) (impondo V(infty)=0);
4) Por fim, a integral de U.

Passo 2

Primeiro, a carga total da esfera é
Q=integralesferarho,dv =rhocdotl(tfrac4pi R^33r) Longrightarrow Q=4pi R^33,rho,

Passo 3

Usando a lei de Gauss, para r<= R (dentro da esfera) temos
E(r),4pi r^2=Qrm interna(r)varepsilon0 com Qrm interna(r)=rhocdot4pi r^33,,
logo
E(r)=rho,r3varepsilon0(r<= R),
Para r>= R (fora) é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
E(r)=14pivarepsilon0Qr^2(r>= R),

Passo 4

Agora, o potencial V(r), lembrando que V(infty)=0 e E=- dV/ dr.
  1. Para r>= R:
$$V®=\int_\infty^r -E(r’),\mathrm dr’
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r},. V(r)=integralinfty^r -E(r'), dr' =14pivarepsilon0Qr, çéV®=V®+\int_R^r -E(r’),\mathrm dr’
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}
-\int_R^r\frac{\rho,r’}{3\varepsilon_0},\mathrm dr’,. r<= R\int_R^r r’,\mathrm dr’=\frac{r2-R2}{2}, $$
chegamos a
r=R

Passo 5

Chegou a hora de calcular
$$U=\frac12\int_{esfera}\rho,V®,4\pi r^2,\mathrm dr
=\frac12\cdot4\pi\rho\int_0^R V®,r^2,\mathrm dr,. U=12integralesferarho,V(r),4pi r^2, dr =12cdot4pirhointegral0^R V(r),r^2, dr, U=\frac{2\pi\rho2}{6\varepsilon_0}\int_0R(3R2-r2),r^2,\mathrm dr
=\frac{\pi\rho2}{3\varepsilon_0}\Bigl[3R2!\int_0^R r^2dr
-!\int_0^R r^4dr\Bigr]. V(r)=tfracrho6varepsilon0(3R^2-r^2)\int_0^R r2dr=\frac{R3}{3},\quad
\int_0^R r4dr=\frac{R5}{5}. U=2pirho^26varepsilon0integral0^R(3R^2-r^2),r^2, dr =pirho^23varepsilon0l[3R^2!integral0^R r^2dr -!integral0^R r^4drr]éá3R2\cdot\frac{R3}{3}-\frac{R5}{5}=R5-\frac{R5}{5}=\frac{4R5}{5},. $$
Então
$$U=\frac{\pi\rho2}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{4R5}{5}
=\frac{4\pi\rho2R5}{15,\varepsilon_0},. $$

Passo 6

Por fim, podemos reescrever U em função de Q. Como
rho=3Q4pi R^3,
temos
$$U=\frac{4\pi}{15\varepsilon_0},\Bigl(\frac{3Q}{4\pi R3}\Bigr)2R^5
=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0,R}
=\frac35;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q^2}{R},. $$

Resposta

boxed,U=35,14pivarepsilon0,Q^2R, ou boxed,U=4pirho^2R^515,varepsilon0,,

Exercícios relacionados