a) Determine o campo eléctrico para todos os ponto do espaço em que a aproximação acima mencionada é válida.
b) Partindo dos resultados da alínea anterior, deduza as expressões do potencial eléctrico, sob a hipótese que
.
b) Partindo dos resultados da alínea anterior, deduza as expressões do potencial eléctrico, sob a hipótese que
Passo 1
Beleza, o enunciado tá falando de uma casca esférica fininha, de raio
, que carrega uma carga total
. A gente quer:
a) O campo elétrico em todo ponto do espaço, usando a “aproximação” de que a casca é fininha (ou seja, pra fora ela se comporta como carga pontual, e pra dentro não tem campo).
b) A partir desse , achar o potencial elétrico
com a condição
.
a) O campo elétrico
b) A partir desse
Conteúdo que vamos usar:
- Lei de Gauss para encontrar
por simetria esférica. - Relação entre campo e potencial:
.
Passo 2
Teoria: Lei de Gauss diz que, para uma superfície gaussiana esférica de raio
,
Por simetria,
é radial e constante em módulo sobre a esfera. Então
Passo 3
Agora vemos dois casos:
-
.
Dentro da casca não há carga “entre” o centro e nossa esfera de raio. Logo e -
.
A carga totalestá toda dentro da esfera de raio , então . Daí apontando radialmente para fora (se).
Passo 4
Agora vamos pro potencial. A relação é
Como combinamos
, integramos de
até
:
Para
:
Mas como
, temos
Para
, dentro do condutor o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao valor em
, que a gente definiu como zero. Logo
Resposta
E aí, resumindo:
-
Campo elétrico:
-
Potencial elétrico (com
):V(r)= 0, & r = R1