a) Determine o campo eléctrico para todos os ponto do espaço em que a aproximação acima mencionada é válida.
b) Partindo dos resultados da alínea anterior, deduza as expressões do potencial eléctrico, sob a hipótese que V(R1)=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá falando de uma casca esférica fininha, de raio , que carrega uma carga total . A gente quer:
a) O campo elétrico em todo ponto do espaço, usando a “aproximação” de que a casca é fininha (ou seja, pra fora ela se comporta como carga pontual, e pra dentro não tem campo).
b) A partir desse , achar o potencial elétrico com a condição .
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Gauss para encontrar por simetria esférica.
  • Relação entre campo e potencial: .

Passo 2

Teoria: Lei de Gauss diz que, para uma superfície gaussiana esférica de raio oint Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0, ,
E(r),4pi r^2=Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0;Qrm intr^2,
Por simetria, é radial e constante em módulo sobre a esfera. Então

Passo 3

Agora vemos dois casos:
  1. E(r)=0para r.
    Dentro da casca não há carga “entre” o centro e nossa esfera de raio E(r)=14pivarepsilon0;Qr^2para r>= R1, . Logo e
  2. .
    A carga total está toda dentro da esfera de raio , então . Daí
    apontando radialmente para fora (se ).

Passo 4

Agora vamos pro potencial. A relação é
E(r)=-dVdr
Como combinamos -integralR1^rE(r'),dr' =integralR1^r14pivarepsilon0Qr'^2,dr' = Q4pivarepsilon0[-1r']R1^r = Q4pivarepsilon0(1R1-1r) , integramos de V(r)=Q4pivarepsilon0(1R1-1r) para r>= R1 até V(r)=0para r:
Para :
Mas como , temos
Para , dentro do condutor o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao valor em , que a gente definiu como zero. Logo

Resposta

E aí, resumindo:
  1. Campo elétrico:
    E(r)= 0, & r= R1
  2. Potencial elétrico (com V(r)= 0, & r= R1 ):

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