Pretende-se transportar de um lado para o outro de um lago blocos de ferro com 10.0 kg de massa cada um. É utilizado como meio de transporte uma tábua de madeira de densidade 0.70 e 100 \mathrm{dm}^{3}. Calcule o número máximo de blocos que pode colocar sobre a tábua sem esta ir ao fundo.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o número máximo de blocos que se pode colocar sobre uma tábua sem ela ir ao fundo do lago.
Dados fornecidos:
  • massa de cada bloco: 10,0\\ \mathrm{kg}.
  • densidade da tábua (madeira): 0,70 (isto é, 0{,}70 vezes a densidade da água).
  • volume da tábua: 100\\ \mathrm{dm}^{3}.
    Condição de segurança: a tábua com os blocos não deve afundar totalmente além do ponto em que perde sustentação (ou seja, não pode exceder a força de empuxo máxima que a água pode prover).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): empuxo e equilíbrio vertical.
  • O empuxo (força para cima) que a água exerce sobre um corpo é igual ao peso do volume de água deslocado. Em fórmula:
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água, V_{\text{sub}} é o volume do corpo submerso e g é a aceleração da gravidade.
  • O peso total que precisa ser sustentado é o peso da tábua mais o peso dos blocos:
P_{\text{total}}=(m_{\text{tábua}}+m_{\text{blocos}})\,g.á
  • Para a tábua não afundar completamente além do limite, o empuxo máximo disponível ocorre quando a tábua fica totalmente submersa, ou seja V_{\text{sub}}=V_{\text{tábua}}á. Nesse caso, condição limite de flutuação é:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{tábua}}\,g=(m_{\text{tábua}}+m_{\text{blocos}})\,g.ááá
Note que g aparece dos dois lados, então ele cancela, o que nos permite trabalhar apenas com massas (kg) em vez de forças (N). Portanto, a condição limite em termos de massas é:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{tábua}} = m_{\text{tábua}} + m_{\text{blocos}}.ááá
Explicação simples: a massa máxima total que a tábua + blocos podem ter é igual à massa da água com o mesmo volume da tábua.

Passo 3

Converter unidades e calcular massa da tábua.
  • Primeiro, converter o volume 100\\ \mathrm{dm}^{3} para metros cúbicos. Como 1\\ \mathrm{dm}^{3}=0{,}001\\ \mathrm{m}^{3}, temos:
100\\ \mathrm{dm}^{3} = 100 \times 0{,}001\\ \mathrm{m}^{3} = 0{,}1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • A densidade da madeira dada é 0{,}70 vezes a densidade da água. Adotando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á, a densidade da tábua é:
\rho_{\text{tábua}} = 0{,}70 \times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
  • A massa da tábua é \rho_{\text{tábua}} \times V_{\text{tábua}}áá:
m_{\text{tábua}} = 700\\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 0{,}1\\ \mathrm{m^{3}} = 70\\ \mathrm{kg}.á
Explanação: densidade vezes volume dá massa; aqui a tábua pesa 70\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a massa máxima total que a água pode sustentar quando a tábua está totalmente submersa.
Usamos \rho_{\text{água}}\,V_{\text{tábua}}áá com \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e V_{\text{tábua}}=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}}á:
m_{\text{máx total}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 0{,}1\\ \mathrm{m^{3}} = 100\\ \mathrm{kg}.á
Interpretação: a água deslocada pela tábua cheia (quando totalmente submersa) tem massa 100\\ \mathrm{kg}, logo esse é o máximo de massa que o empuxo pode equilibrar.

Passo 5

Calcular a massa disponível para os blocos e o número máximo de blocos inteiros.
  • Massa disponível para blocos:
m_{\text{disponível}} = m_{\text{máx total}} - m_{\text{tábua}} = 100\\ \mathrm{kg} - 70\\ \mathrm{kg} = 30\\ \mathrm{kg}.íáá
  • Cada bloco tem massa 10{,}0\\ \mathrm{kg}. O número máximo de blocos inteiros que cabem é a parte inteira de 30/10:
n = \left\lfloor \frac{30\\ \mathrm{kg}}{10{,}0\\ \mathrm{kg}} \right\rfloor = \left\lfloor 3 \right\rfloor = 3.
Observação didática: como 3 blocos pesam exatamente 30\\ \mathrm{kg}, a tábua com 3 blocos fica exatamente no limite (totalmente submersa). Colocar um quarto bloco aumentaria a massa total para 110\\ \mathrm{kg}, maior que a massa de água deslocada 100\\ \mathrm{kg}, e então afundaria.

Resposta

3

Exercícios relacionados