Pretende-se transportar de um lado para o outro de um lago blocos de ferro com 10.0 kg de massa cada um. É utilizado como meio de transporte uma tábua de madeira de densidade 0.70 e
. Calcule o número máximo de blocos que pode colocar sobre a tábua sem esta ir ao fundo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o número máximo de blocos que se pode colocar sobre uma tábua sem ela ir ao fundo do lago.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- massa de cada bloco:
. - densidade da tábua (madeira):
(isto é, vezes a densidade da água). - volume da tábua:
.
Condição de segurança: a tábua com os blocos não deve afundar totalmente além do ponto em que perde sustentação (ou seja, não pode exceder a força de empuxo máxima que a água pode prover).
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): empuxo e equilíbrio vertical.
- O empuxo (força para cima) que a água exerce sobre um corpo é igual ao peso do volume de água deslocado. Em fórmula:
onde
é a densidade da água,
é o volume do corpo submerso e
é a aceleração da gravidade.
- O peso total que precisa ser sustentado é o peso da tábua mais o peso dos blocos:
- Para a tábua não afundar completamente além do limite, o empuxo máximo disponível ocorre quando a tábua fica totalmente submersa, ou seja
. Nesse caso, condição limite de flutuação é:
Note que
aparece dos dois lados, então ele cancela, o que nos permite trabalhar apenas com massas (kg) em vez de forças (N). Portanto, a condição limite em termos de massas é:
Explicação simples: a massa máxima total que a tábua + blocos podem ter é igual à massa da água com o mesmo volume da tábua.
Passo 3
Converter unidades e calcular massa da tábua.
- Primeiro, converter o volume
para metros cúbicos. Como , temos:
- A densidade da madeira dada é
vezes a densidade da água. Adotando , a densidade da tábua é:
- A massa da tábua é
:
Explanação: densidade vezes volume dá massa; aqui a tábua pesa
.
Passo 4
Calcular a massa máxima total que a água pode sustentar quando a tábua está totalmente submersa.
Usamos com
e
:
Usamos
Interpretação: a água deslocada pela tábua cheia (quando totalmente submersa) tem massa
, logo esse é o máximo de massa que o empuxo pode equilibrar.
Passo 5
Calcular a massa disponível para os blocos e o número máximo de blocos inteiros.
- Massa disponível para blocos:
- Cada bloco tem massa
. O número máximo de blocos inteiros que cabem é a parte inteira de :
Observação didática: como
blocos pesam exatamente
, a tábua com 3 blocos fica exatamente no limite (totalmente submersa). Colocar um quarto bloco aumentaria a massa total para
, maior que a massa de água deslocada
, e então afundaria.
Resposta
3