Um recipiente, de altura 30 cm e cujo fundo tem de área 12 \mathrm{~cm}^{2}, contém dois líquidos, A e B imiscíveis e de massas volúmicas 0.8 \mathrm{gcm}^{-3} e 4.0 \mathrm{gcm}^{-3}, respectivamente. A superfície liquida em contacto com a atmosfera encontra-se à altura de 20 cm e a altura do líquido A é de 12 cm .
a) determine a intensidade da força de pressão exercida pelo líquido no fundo do recipiente;
b) determine a diferença de pressão entre a superfície de separação dos dois líquidos e a que se encontra a 4.0 cm do fundo do recipiente.
R: a) 5.0 N
b) 1.6 \times 10^{3}

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
  • Área do fundo do recipiente: A=12\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Altura total do recipiente: 30\\ \mathrm{cm} (não vamos precisar desse valor diretamente).
  • A superfície livre do líquido (em contacto com a atmosfera) está à altura 20\\ \mathrm{cm} acima do fundo.
  • A altura do líquido A (o estrato superior) é 12\\ \mathrm{cm}.
  • Densidades (massas volúmicas): líquido A: \rho_A=0{,}8\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}; líquido B: \rho_B=4{,}0\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
  • O enunciado pede:
    a) a intensidade da força de pressão exercida pelo líquido no fundo do recipiente;
    b) a diferença de pressão entre a superfície de separação dos dois líquidos e a superfície que se encontra a 4{,}0\\ \mathrm{cm} do fundo.
Informação geométrica extra que se deduz do enunciado (sem resolver ainda):
  • Como a superfície livre está a 20\\ \mathrm{cm} e o líquido A tem altura 12\\ \mathrm{cm}, a superfície de separação A/B está a 20-12=8\\ \mathrm{cm} acima do fundo.
  • Portanto o líquido B ocupa do fundo (0 cm) até 8\\ \mathrm{cm}; o líquido A ocupa de 8\\ \mathrm{cm} até 20\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (com explicação didática): pressão hidrostática e como calcular força no fundo.
  • A pressão exercida por uma coluna de fluido de massa volúmica \rho, com altura vertical h, é
p=\rho g h.
Explique: \rho é a massa por unidade de volume do líquido (em \mathrm{kg\\ m^{-3}}), g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m\\ s^{-2}}) e h é a altura vertical da coluna líquida (em \mathrm{m}). A pressão aumenta linearmente com a profundidade porque mais massa de líquido fica acima daquele ponto.
  • Quando há camadas de líquidos imiscíveis, as pressões das camadas se somam: a pressão no fundo é a soma das contribuições de cada camada acima.
  • A força que o líquido exerce no fundo é a pressão no fundo multiplicada pela área do fundo:
F = p_{\text{fundo}} \, A.
Observação prática: para arredondamentos e para combinar com o resultado fornecido, vou adotar g=10\\ \mathrm{m\\ s^{-2}} (padrão em muitos exercícios), o que simplifica contas e coincide com a resposta-proposta.

Passo 3

Conversões de unidades para o Sistema Internacional (essenciais para aplicar as fórmulas).
  • Converter densidades: 1\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}=1000\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}. \rho_A = 0{,}8\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} = 0{,}8\times1000 = 800\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}},
\rho_B = 4{,}0\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} = 4{,}0\times1000 = 4000\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Converter alturas para metros: h_A = 12\\ \mathrm{cm} = 0{,}12\\ \mathrm{m},
h_B = 8\\ \mathrm{cm} = 0{,}08\\ \mathrm{m}.
(lembrando que h_B é a altura do líquido B acima do fundo, obtida no Passo 1).
  • Converter área para \mathrm{m^{2}}: 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, A = 12\\ \mathrm{cm^{2}} = 12\times10^{-4} = 1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a pressão no fundo devido às duas camadas (somando contribuições).
  • A pressão no fundo é
p_{\text{fundo}} = \rho_A g h_A + \rho_B g h_B.
Substituindo os números (com g=10\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}):
  • contribuição do líquido A:
\rho_A g h_A = 800\times10\times0{,}12 = 800\times1{,}2 = 960\\ \mathrm{Pa}.
  • contribuição do líquido B:
\rho_B g h_B = 4000\times10\times0{,}08 = 4000\times0{,}8 = 3200\\ \mathrm{Pa}.
  • somando:
p_{\text{fundo}} = 960 + 3200 = 4160\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a força de pressão sobre o fundo usando F=pA.
  • Use a área convertida no Passo 3:
F = p_{\text{fundo}}\\ A = 4160\times1{,}2\times10^{-3}.
  • Calculando:
F = 4160\times0{,}0012 = 4{,}992\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando de forma conveniente (uma casa decimal) e para coincidir com o resultado usual,
F \approx 5{,}0\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resolver a parte (b): diferença de pressão entre a superfície de separação A/B (altura 8\\ \mathrm{cm}) e o ponto que está a 4{,}0\\ \mathrm{cm} do fundo.
  • A superfície de separação está a 8\\ \mathrm{cm} do fundo; o ponto pedido está a 4\\ \mathrm{cm} do fundo. A distância vertical entre eles é
\Delta h = 8\\ \mathrm{cm} - 4\\ \mathrm{cm} = 4\\ \mathrm{cm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Ambos os pontos estão dentro do líquido B (porque B vai de 0 a 8\\ \mathrm{cm}), então a diferença de pressão é dada por
\Delta p = \rho_B g \Delta h.
  • Substituindo:
\Delta p = 4000\times10\times0{,}04 = 4000\times0{,}4 = 1600\\ \mathrm{Pa}.
  • Em notação científica:
\Delta p = 1{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

a) 5{,}0\\ \mathrm{N}
b) 1{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}

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