As áreas das secções dos êmbolos de uma prensa hidráulica são, respectivamente, 20.0 c e 150.0 \mathrm{~cm}^{2}. Os êmbolos são homogéneos, feitos de ferro (\mathrm{d}=7.86) com 5.0 cm de espessura cada um. O êmbolo da direita (maior) suporta um objecto de 50.0 kg de massa. Calcule a intensidade da força exercida no êmbolo da esquerda, para que o sistema se mantenha em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a intensidade da força que deve ser exercida no êmbolo da esquerda (menor) para que o sistema fique em equilíbrio, sabendo que o êmbolo da direita (maior) suporta um objecto de massa 50{,}0\\ \mathrm{kg}. Informações fornecidas:
A_1 = 20{,}0\\ \mathrm{cm}^2 (área do êmbolo da esquerda),
A_2 = 150{,}0\\ \mathrm{cm}^2 (área do êmbolo da direita),
os êmbolos são homogéneos de ferro com densidade \rho = 7{,}86 (valor dado — usaremos a unidade \mathrm{g/cm}^3),
espessura (altura) de cada êmbolo t = 5{,}0\\ \mathrm{cm},
massa do objecto sobre o êmbolo direito m_{\text{obj}} = 50{,}0\\ \mathrm{kg}.
Devemos determinar a força F aplicada no êmbolo esquerdo (para baixo) que mantém o equilíbrio, considerando também os pesos dos dois êmbolos.

Passo 2

Definimos variáveis e recordamos fórmulas úteis:
A_1 e A_2 são as áreas das secções dos êmbolos (já dadas).
Volume de um êmbolo: V = A \cdot t, onde A está em \mathrm{cm}^2 e t em \mathrm{cm}, então V fica em \mathrm{cm}^3.
Massa a partir da densidade: m = \rho \cdot V quando \rho está em \mathrm{g/cm}^3 e V em \mathrm{cm}^3; o resultado é em gramas. Para obter quilogramas dividimos por 1000.
Peso (força gravitacional): W = m \cdot g, com g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}. Aqui W fica em newtons se m estiver em quilogramas.

Passo 3

Calculamos os volumes dos êmbolos usando os dados em \mathrm{cm} e \mathrm{cm}^2:
V_1 = A_1 \cdot t = 20{,}0\\ \mathrm{cm}^2 \cdot 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 100{,}0\\ \mathrm{cm}^3,
V_2 = A_2 \cdot t = 150{,}0\\ \mathrm{cm}^2 \cdot 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 750{,}0\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Calculamos as massas dos êmbolos usando \rho = 7{,}86\\ \mathrm{g/cm}^3:
m_1 = \rho \cdot V_1 = 7{,}86 \cdot 100{,}0 = 786{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}786\\ \mathrm{kg},
m_2 = \rho \cdot V_2 = 7{,}86 \cdot 750{,}0 = 5895{,}0\\ \mathrm{g} = 5{,}895\\ \mathrm{kg}.
(Convertemos de gramas para quilogramas dividindo por 1000.)

Passo 5

Calculamos os pesos (forças gravitacionais) dos êmbolos e do objecto:
W_1 = m_1 \cdot g = 0{,}786\\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} = 7{,}70\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}),
W_2 = m_2 \cdot g = 5{,}895\\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} = 57{,}77\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}),
W_{\text{obj}} = m_{\text{obj}} \cdot g = 50{,}0\\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} = 490{,}0\\ \mathrm{N}.
(Arredondei um pouco para leitura, mas manterei precisão nas contas seguintes.)

Passo 6

Explicação física e equação de equilíbrio (passo didático):
Quando empurramos o êmbolo esquerdo com uma força F (para baixo), essa força soma-se ao peso do próprio êmbolo esquerdo W_1 e cria um acréscimo de pressão no fluido abaixo do êmbolo. Essa pressão extra é transmitida igualmente ao êmbolo direito (princípio da transmissão de pressões num fluido). A pressão adicional é
\Delta p = \frac{F + W_1}{A_1}.
Essa pressão aplicada sobre a área A_2 do êmbolo direito gera uma força de subida igual a \Delta p \cdot A_2. Para o sistema estar em equilíbrio essa força de subida deve equilibrar o peso do objecto mais o peso do êmbolo direito:
\Delta p \cdot A_2 = W_{\text{obj}} + W_2.

Passo 7

Substituímos \Delta p na equação de equilíbrio e isolamos F:
\frac{F + W_1}{A_1} \cdot A_2 = W_{\text{obj}} + W_2.
Multiplicando e isolando F,
F + W_1 = \frac{A_1}{A_2}\,(W_{\text{obj}} + W_2),
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F = \frac{A_1}{A_2}\,(W_{\text{obj}} + W_2) - W_1.
Esta fórmula é intuitiva: parte do peso a suportar é “reduzida” pelo fator de área A_1/A_2, mas subtrai-se o peso do próprio êmbolo esquerdo porque ele já pressiona o fluido.

Passo 8

Agora aplicamos números. Primeiro o fator de áreas:
\frac{A_1}{A_2} = \frac{20{,}0}{150{,}0} = 0{,}133333\ldots
Calculamos a soma W_{\text{obj}} + W_2:
W_{\text{obj}} + W_2 = 490{,}0\\ \mathrm{N} + 57{,}771\\ \mathrm{N} = 547{,}771\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Multiplicamos pelo fator A_1/A_2:
\frac{A_1}{A_2}\,(W_{\text{obj}} + W_2) = 0{,}133333\ldots \cdot 547{,}771\\ \mathrm{N} = 73{,}036\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).

Passo 10

Finalmente subtraímos W_1 para obter F:
F = 73{,}036\\ \mathrm{N} - 7{,}703\\ \mathrm{N} = 65{,}333\\ \mathrm{N}.
Arredondando com consistência às cifras significativas dos dados, fica 65{,}3\\ \mathrm{N}.

Resposta

65{,}3\\ \mathrm{N}

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