As áreas das secções dos êmbolos de uma prensa hidráulica são, respectivamente, 20.0 c e
. Os êmbolos são homogéneos, feitos de ferro
com 5.0 cm de espessura cada um. O êmbolo da direita (maior) suporta um objecto de 50.0 kg de massa. Calcule a intensidade da força exercida no êmbolo da esquerda, para que o sistema se mantenha em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a intensidade da força que deve ser exercida no êmbolo da esquerda (menor) para que o sistema fique em equilíbrio, sabendo que o êmbolo da direita (maior) suporta um objecto de massa
. Informações fornecidas:
(área do êmbolo da esquerda),
(área do êmbolo da direita),
os êmbolos são homogéneos de ferro com densidade (valor dado — usaremos a unidade
),
espessura (altura) de cada êmbolo ,
massa do objecto sobre o êmbolo direito .
Devemos determinar a força aplicada no êmbolo esquerdo (para baixo) que mantém o equilíbrio, considerando também os pesos dos dois êmbolos.
os êmbolos são homogéneos de ferro com densidade
espessura (altura) de cada êmbolo
massa do objecto sobre o êmbolo direito
Devemos determinar a força
Passo 2
Definimos variáveis e recordamos fórmulas úteis:
e
são as áreas das secções dos êmbolos (já dadas).
Volume de um êmbolo: , onde
está em
e
em
, então
fica em
.
Massa a partir da densidade: quando
está em
e
em
; o resultado é em gramas. Para obter quilogramas dividimos por
.
Peso (força gravitacional): , com
. Aqui
fica em newtons se
estiver em quilogramas.
Volume de um êmbolo:
Massa a partir da densidade:
Peso (força gravitacional):
Passo 3
Calculamos os volumes dos êmbolos usando os dados em
e
:
Passo 4
Calculamos as massas dos êmbolos usando
:
(Convertemos de gramas para quilogramas dividindo por
.)
Passo 5
Calculamos os pesos (forças gravitacionais) dos êmbolos e do objecto:
(Arredondei um pouco para leitura, mas manterei precisão nas contas seguintes.)
Passo 6
Explicação física e equação de equilíbrio (passo didático):
Quando empurramos o êmbolo esquerdo com uma força (para baixo), essa força soma-se ao peso do próprio êmbolo esquerdo
e cria um acréscimo de pressão no fluido abaixo do êmbolo. Essa pressão extra é transmitida igualmente ao êmbolo direito (princípio da transmissão de pressões num fluido). A pressão adicional é
Quando empurramos o êmbolo esquerdo com uma força
Essa pressão aplicada sobre a área
do êmbolo direito gera uma força de subida igual a
. Para o sistema estar em equilíbrio essa força de subida deve equilibrar o peso do objecto mais o peso do êmbolo direito:
Passo 7
Substituímos
na equação de equilíbrio e isolamos
:
Multiplicando e isolando
,
logo
Esta fórmula é intuitiva: parte do peso a suportar é “reduzida” pelo fator de área
, mas subtrai-se o peso do próprio êmbolo esquerdo porque ele já pressiona o fluido.
Passo 8
Agora aplicamos números. Primeiro o fator de áreas:
Calculamos a soma
:
Passo 9
Multiplicamos pelo fator
:
Passo 10
Finalmente subtraímos
para obter
:
Arredondando com consistência às cifras significativas dos dados, fica
.