Pretendemos colocar dois satélites, A e B, ambos com massa m. em órbitas circulares em torno da Terra. O satélite A deve ficar numa órbita de altitude igual a 4.000 mi , enquanto o B numa de 12.000 mi . O raio da Terra, R_{T} vale 4.000 mi . (a) Quando os dois satélites estão em órbita, qual a razão entre as suas energias potenciais? (b) E entre suas energias cinéticas? (c) Qual dos satélites tem maior energia total. se ambos têm massa igual a 1,0 slug? De quanto diferem essas energias?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
  • Altitude do satélite A: 4000\\ \text{mi}.
  • Altitude do satélite B: 12000\\ \text{mi}.
  • Raio da Terra: R_{T}=4000\\ \text{mi}.
  • Massas: os dois satélites têm massa m (mais adiante será dado m=1{,}0\\ \text{slug} para o item (c)).
Perguntas do enunciado:
(a) Quando os dois satélites estão em órbita, qual a razão entre as suas energias potenciais?
(b) Qual a razão entre as suas energias cinéticas?
(c) Se ambos têm massa 1{,}0\\ \text{slug}, qual dos satélites tem maior energia total e de quanto diferem essas energias?
Informação útil que iremos usar (sem ainda aplicar):
  • Para órbita circular vamos precisar das distâncias do centro da Terra aos satélites: r_A e r_B, que valem R_T+ altitude.
  • As fórmulas de energia gravitacional e de energia cinética em órbita circular serão aplicadas nos passos seguintes.

Passo 2

Calcular os raios das órbitas (distâncias do centro da Terra até cada satélite). Explicando devagar:
  • O raio da órbita é a soma do raio da Terra com a altitude do satélite, porque a altitude é medida acima da superfície.
Portanto:
r_A = R_T + \text{altitude}_A = 4000\\ \text{mi} + 4000\\ \text{mi} = 8000\\ \text{mi},
r_B = R_T + \text{altitude}_B = 4000\\ \text{mi} + 12000\\ \text{mi} = 16000\\ \text{mi}.
Observação: daqui por diante toda relação que dependa de r usará estes valores.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula da energia potencial gravitacional para massa m num campo gravitacional de massa da Terra M (energia relativa ao infinito):
  • A energia potencial gravitacional (total) de uma massa m a distância r do centro da Terra é
U(r) = -\frac{G M m}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa do satélite,
  • r é a distância do centro da Terra ao satélite.
  • O sinal negativo mostra que a energia potencial é menor (mais negativa) quando o objeto está ligado gravitacionalmente à Terra; quanto menor r, mais negativa é U.
Para dois satélites em órbita circular, a razão entre suas energias potenciais é:
\frac{U_A}{U_B}=\frac{-\dfrac{G M m}{r_A}}{-\dfrac{G M m}{r_B}}=\frac{r_B}{r_A}.
Note que os fatores -GMm cancelam. Assim a razão depende só dos raios r_A e r_B.

Passo 4

Aplicar os valores de r_A e r_B para obter a razão pedida em (a):
\frac{U_A}{U_B}=\frac{r_B}{r_A}=\frac{16000\\ \text{mi}}{8000\\ \text{mi}}=2.
Interpretação rápida e amigável: como r_A é metade de r_B, a energia potencial de A é duas vezes a de B (em valor numérico relativo); lembrando que ambas são negativas — U_A é duas vezes mais negativa do que U_B em módulo.

Passo 5

Apresentar e explicar a fórmula da energia cinética para órbita circular:
  • Para uma órbita circular a velocidade orbital satisfaz
v^2=\frac{G M}{r},
porque a força centrípeta m v^2/r é fornecida pela força gravitacional G M m/r^2.
  • A energia cinética do satélite é
K=\frac{1}{2} m v^2.
Substituindo v^2 na expressão de K obtemos a forma conveniente para órbitas:
K(r)=\frac{1}{2}m\left(\frac{G M}{r}\right)=\frac{G M m}{2r}.
Note que K é proporcional a 1/r.
Para dois satélites:
\frac{K_A}{K_B}=\frac{\dfrac{G M m}{2r_A}}{\dfrac{G M m}{2r_B}}=\frac{r_B}{r_A}.

Passo 6

Aplicar os raios para a razão pedida em (b):
\frac{K_A}{K_B}=\frac{r_B}{r_A}=\frac{16000}{8000}=2.
Interpretação: o satélite mais próximo (menor r, ou seja A) tem maior velocidade e, portanto, maior energia cinética — neste caso exatamente o dobro da energia cinética de B.

Passo 7

Fórmula da energia total (energia mecânica) de um satélite em órbita circular e interpretação:
  • A energia total é E=K+U. Substituindo K=\dfrac{GMm}{2r} e U=-\dfrac{GMm}{r} temos
E(r)=\frac{G M m}{2r}-\frac{G M m}{r}=-\frac{G M m}{2r}.
  • Assim E é negativa e proporcional a -1/r. Satélite com menor r tem energia total mais negativa (menor energia total).
A razão entre energias totais é, como antes,
\frac{E_A}{E_B}=\frac{-\dfrac{G M m}{2r_A}}{-\dfrac{G M m}{2r_B}}=\frac{r_B}{r_A}=2.
Mas atenção ao interpretar: E_A é duas vezes E_B numericamente — ambos negativos — portanto E_A é mais negativo (menor) e E_B é maior (menos negativo).

Passo 8

Agora vamos ao cálculo numérico do item (c), quando m=1{,}0\\ \text{slug}. Para obter números precisamos de G M na mesma unidade de comprimento e tempo que usaremos. Vou usar unidades imperiais coerentes: pés (ft) e segundos (s), porque a massa em slugs combina naturalmente com pés e segundos (1 slug·ft/s^2 = 1 lbf). Explico as conversões e cálculos passo a passo.
  1. Converter milhas para pés:
1\\ \text{mi}=5280\\ \text{ft}.
Logo
R_T=4000\\ \text{mi}=4000\times5280\\ \text{ft}=21\,120\,000\\ \text{ft},
r_A=8000\\ \text{mi}=42\,240\,000\\ \text{ft},
r_B=16000\\ \text{mi}=84\,480\,000\\ \text{ft}.
  1. Usar g na superfície para obter G M:
  • A aceleração gravitacional na superfície satisfaz g=\dfrac{G M}{R_T^2}. Vou usar g=32{,}174\\ \text{ft}/\text{s}^2 (valor padrão).
  • Assim
G M = g R_T^2 = 32{,}174\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}^2}\times(21\,120\,000\\ \text{ft})^2.
Fazendo a conta:
G M \approx 1{,}435135427\times10^{16}\\ \text{ft}^3/\text{s}^2.
  1. Energia total de cada satélite (com m=1{,}0\\ \text{slug}):
E(r)=-\frac{G M m}{2r}.
Para A:
E_A=-\frac{1{,}435135427\times10^{16}}{2\times42\,240\,000}\\ \text{(slug·ft}^2\!/\!\text{s}^2)= -1{,}70\times10^{8}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.
Para B:
E_B=-\frac{1{,}435135427\times10^{16}}{2\times84\,480\,000}= -8{,}49\times10^{7}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.
Observação de unidades: aqui a unidade de energia resultante é \text{slug}\cdot\text{ft}^2/\text{s}^2, que é numericamente igual a \text{ft}\cdot\text{lbf} (foot–pound force).
  1. Diferença entre as energias totais (quanto diferem):
\Delta E = E_B - E_A = (-8{,}49\times10^{7})-(-1{,}70\times10^{8})=8{,}49\times10^{7}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.
Isto significa que B tem energia total maior (menos negativa) — a diferença é 8{,}49\times10^{7}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.
  1. Conversão para Joules (opcional, para referência): 1\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}\approx1{,}355817948\\ \text{J}. Assim
E_A\approx-2{,}30\times10^{8}\\ \text{J},\qquad E_B\approx-1{,}15\times10^{8}\\ \text{J},
\Delta E\approx1{,}15\times10^{8}\\ \text{J}.

Passo 9

Resumo interpretativo e resposta conceitual curta:
  • Razões das energias potenciais e cinéticas dependem só da razão dos raios: como r_B/r_A=2, ambas as razões (potencial e cinética) valem 2.
  • Em energia total, o satélite mais distante B tem maior energia total (mais perto de zero), porque o total é negativo e se torna menos negativo com r maior. Numericamente, para m=1{,}0\\ \text{slug} os valores e diferença foram calculados no passo anterior.

Resposta

(a) \dfrac{U_A}{U_B}=2
(b) \dfrac{K_A}{K_B}=2
(c) E_A=-1,70\times10^{8}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf},\quad E_B=-8,49\times10^{7}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.
E_B é maior (menos negativa). Diferença: \Delta E=8,49\times10^{7}\\ \text{ft}\cdot\text{lbf} \approx1,15\times10^{8}\\ \text{J}.

Exercícios relacionados