Pretendemos colocar dois satélites,
e
, ambos com massa
. em órbitas circulares em torno da Terra. O satélite
deve ficar numa órbita de altitude igual a 4.000 mi , enquanto o
numa de 12.000 mi . O raio da Terra,
vale 4.000 mi . (a) Quando os dois satélites estão em órbita, qual a razão entre as suas energias potenciais? (b) E entre suas energias cinéticas? (c) Qual dos satélites tem maior energia total. se ambos têm massa igual a 1,0 slug? De quanto diferem essas energias?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
- Altitude do satélite
: . - Altitude do satélite
: . - Raio da Terra:
. - Massas: os dois satélites têm massa
(mais adiante será dado para o item (c)).
Perguntas do enunciado:
(a) Quando os dois satélites estão em órbita, qual a razão entre as suas energias potenciais?
(b) Qual a razão entre as suas energias cinéticas?
(c) Se ambos têm massa , qual dos satélites tem maior energia total e de quanto diferem essas energias?
(a) Quando os dois satélites estão em órbita, qual a razão entre as suas energias potenciais?
(b) Qual a razão entre as suas energias cinéticas?
(c) Se ambos têm massa
Informação útil que iremos usar (sem ainda aplicar):
- Para órbita circular vamos precisar das distâncias do centro da Terra aos satélites:
e , que valem altitude. - As fórmulas de energia gravitacional e de energia cinética em órbita circular serão aplicadas nos passos seguintes.
Passo 2
Calcular os raios das órbitas (distâncias do centro da Terra até cada satélite). Explicando devagar:
- O raio da órbita é a soma do raio da Terra com a altitude do satélite, porque a altitude é medida acima da superfície.
Portanto:
Observação: daqui por diante toda relação que dependa de
usará estes valores.
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula da energia potencial gravitacional para massa
num campo gravitacional de massa da Terra
(energia relativa ao infinito):
- A energia potencial gravitacional (total) de uma massa
a distância do centro da Terra é
onde:
-
é a constante gravitacional universal, -
é a massa da Terra, -
é a massa do satélite, -
é a distância do centro da Terra ao satélite. - O sinal negativo mostra que a energia potencial é menor (mais negativa) quando o objeto está ligado gravitacionalmente à Terra; quanto menor
, mais negativa é .
Para dois satélites em órbita circular, a razão entre suas energias potenciais é:
Note que os fatores
cancelam. Assim a razão depende só dos raios
e
.
Passo 4
Aplicar os valores de
e
para obter a razão pedida em (a):
Interpretação rápida e amigável: como
é metade de
, a energia potencial de
é duas vezes a de
(em valor numérico relativo); lembrando que ambas são negativas —
é duas vezes mais negativa do que
em módulo.
Passo 5
Apresentar e explicar a fórmula da energia cinética para órbita circular:
- Para uma órbita circular a velocidade orbital satisfaz
porque a força centrípeta
é fornecida pela força gravitacional
.
- A energia cinética do satélite é
Substituindo
na expressão de
obtemos a forma conveniente para órbitas:
Note que
é proporcional a
.
Para dois satélites:
Passo 6
Aplicar os raios para a razão pedida em (b):
Interpretação: o satélite mais próximo (menor
, ou seja
) tem maior velocidade e, portanto, maior energia cinética — neste caso exatamente o dobro da energia cinética de
.
Passo 7
Fórmula da energia total (energia mecânica) de um satélite em órbita circular e interpretação:
- A energia total é
. Substituindo e temos
- Assim
é negativa e proporcional a . Satélite com menor tem energia total mais negativa (menor energia total).
A razão entre energias totais é, como antes,
Mas atenção ao interpretar:
é duas vezes
numericamente — ambos negativos — portanto
é mais negativo (menor) e
é maior (menos negativo).
Passo 8
Agora vamos ao cálculo numérico do item (c), quando
. Para obter números precisamos de
na mesma unidade de comprimento e tempo que usaremos. Vou usar unidades imperiais coerentes: pés (ft) e segundos (s), porque a massa em slugs combina naturalmente com pés e segundos (1 slug·ft/s^2 = 1 lbf). Explico as conversões e cálculos passo a passo.
- Converter milhas para pés:
Logo
- Usar
na superfície para obter :
- A aceleração gravitacional na superfície satisfaz
. Vou usar (valor padrão). - Assim
Fazendo a conta:
- Energia total de cada satélite (com
):
Para
:
Para
:
Observação de unidades: aqui a unidade de energia resultante é
, que é numericamente igual a
(foot–pound force).
- Diferença entre as energias totais (quanto diferem):
Isto significa que
tem energia total maior (menos negativa) — a diferença é
.
- Conversão para Joules (opcional, para referência):
. Assim
Passo 9
Resumo interpretativo e resposta conceitual curta:
- Razões das energias potenciais e cinéticas dependem só da razão dos raios: como
, ambas as razões (potencial e cinética) valem . - Em energia total, o satélite mais distante
tem maior energia total (mais perto de zero), porque o total é negativo e se torna menos negativo com maior. Numericamente, para os valores e diferença foram calculados no passo anterior.
Resposta
(a)
(b)
(c)
é maior (menos negativa). Diferença: