(a) Para escapar do Sol, que velocidade deve ter um objeto que está a uma distância R do seu centro, sendo R o raio da órbita da Terra (não considere a influência dos planetas sobre o objeto). (b) Se um objeto já tem uma velocidade igual à orbital da Terra, de quanto deve aumentar sua velocidade para que ele escape, como no item (a)? (c) Imagine um objeto sendo lançado da Terra na direção do seu movimento orbital. Qual a velocidade de lançamento para que ele atinja a velocidade de escape calculada, quando estiver bem longe da Terra, mas ainda a uma distância R, aproximadamente, do Sol?

Passo 1

O enunciado pede três coisas, todas considerando como referência o Sol e tomando R como o raio da órbita da Terra (ou seja, R é 1 UA, a distância da Terra ao Sol). Não considerar a influência de outros planetas.
  • (a) Qual a velocidade que um objeto, situado a uma distância R do centro do Sol, deve ter para escapar do campo gravitacional do Sol?
  • (b) Se o objeto já tem a velocidade orbital da Terra, de quanto precisa aumentar sua velocidade (delta v) para alcançar a velocidade de escape do item (a)?
  • (c) Suponha que o objeto é lançado da Terra na direção do movimento orbital da Terra. Qual deve ser a velocidade de lançamento (medida na superfície da Terra, relativa à Terra) para que, quando estiver bem longe da Terra (gravidade da Terra desprezível), mas ainda aproximadamente à distância R do Sol, sua velocidade heliocêntrica seja igual à velocidade de escape do Sol do item (a)?
Informações/assunções dadas ou necessárias (pegas como dadas ou padrão):
  • A distância do objeto ao Sol é R (raio da órbita da Terra).
  • Não considerar influência de outros planetas.
  • Lançamento na direção do movimento orbital (tangencial, mesmo sentido da Terra).
  • Valores físicos que usarei (valores padrão): constante gravitacional G, massa do Sol M_\odot, massa da Terra M_\oplus e raio da Terra R_\oplus. Mais adiante explico e uso números aproximados para dar respostas em km/s.

Passo 2

Conceito básico e derivação da velocidade de escape (para o Sol, ponto (a)). Vou explicar devagar e com intuição.
Energia mecânica por unidade de massa (energia específica) de um corpo no campo gravitacional do Sol, a distância r, é
\varepsilon=\frac{1}{2}v^2 - \frac{G M_\odot}{r},
onde:
  • \varepsilon é a energia por unidade de massa (J/kg),
  • v é a velocidade do corpo em relação ao Sol (m/s),
  • G é a constante gravitacional ( 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}),
  • M_\odot é a massa do Sol ( \approx 1{,}989\times10^{30}\\ \mathrm{kg}),
  • r é a distância ao centro do Sol (aqui r=R).
Para que o objeto escape do poço gravitacional do Sol e, no limite, chegue ao infinito com velocidade residual não negativa mínima, a energia total deve ser \varepsilon=0 (caso limite). Portanto impomos
\frac{1}{2}v_{\rm esc}^2 - \frac{G M_\odot}{R}=0.
Resolvendo para v_{\rm esc} obtemos a fórmula clássica:
v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G M_\odot}{R}}.
Essa é a resposta simbólica para o item (a). Interpretação rápida: precisa-se de velocidade suficiente para que a energia cinética compense a energia potencial gravitacional.

Passo 3

Avaliação prática e comparação com a velocidade orbital da Terra (preparando (b)). Antes de numerar, mostro uma relação útil: a velocidade orbital circular (velocidade da Terra) a R é
v_{\rm orb}=\sqrt{\dfrac{G M_\odot}{R}}.
Note que isso difere de v_{\rm esc} por um fator \sqrt{2}:
v_{\rm esc}=\sqrt{2}\,v_{\rm orb}.
Isso é muito prático porque v_{\rm orb} é conhecida: a Terra orbita o Sol a aproximadamente 29{,}78\\ \mathrm{km/s}. Assim:
v_{\rm esc}=\sqrt{2}\times 29{,}78\\ \mathrm{km/s}\approx 42{,}12\\ \mathrm{km/s}.
Para ficar no formato do enunciado (usar para matemática), escrevo o resultado:
v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G M_\odot}{R}}\approx 42{,}12\\ \mathrm{km/s}.

Passo 4

Resposta do item (b): quanto aumentar a velocidade se já se tem a velocidade orbital da Terra.
Se o objeto já tem v_{\rm orb}=\sqrt{G M_\odot/R}, a diferença necessária é
\Delta v = v_{\rm esc}-v_{\rm orb} = \left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{\dfrac{G M_\odot}{R}}.
Numericamente, usando v_{\rm orb}\approx 29{,}78\\ \mathrm{km/s},
\Delta v \approx 42{,}12 - 29{,}78 = 12{,}34\\ \mathrm{km/s}.
Interpretação: é preciso aumentar a velocidade heliocêntrica em cerca de 12{,}3\\ \mathrm{km/s} se se parte já com a velocidade orbital da Terra.

Passo 5

Agora o item (c): lançar um objeto da Terra na direção do movimento orbital para que, quando estiver bem longe da Terra (gravidade terrestre desprezível) mas à distância R do Sol, sua velocidade heliocêntrica seja igual a v_{\rm esc} do item (a).
Estratégia e física envolvida (explicação detalhada):
  • Quando lançado da superfície da Terra, o objeto tem velocidade inicial relativa à Terra, digamos u_{\rm launch}, na direção do movimento orbital. A Terra em si já se move ao redor do Sol com v_{\rm orb}.
  • Ao escapar do poço gravitacional da Terra e ficar “bem longe” dela (distância onde a gravidade da Terra é desprezível), o objeto terá uma velocidade residual relativa à Terra, chamemos v_\infty (velocidade quando está muito longe da Terra, medida no referencial centrado na Terra). Se o lançamento foi na direção do movimento orbital, então o vetor velocidade heliocêntrica distante será aproximadamente v_{\rm orb}+v_\infty (somando vetores, assumindo alinhamento).
  • Para que a velocidade heliocêntrica distante seja exatamente v_{\rm esc}, precisamos de
v_{\rm orb}+v_\infty = v_{\rm esc}.
Logo
v_\infty = v_{\rm esc}-v_{\rm orb} = \Delta v,
que é exatamente o mesmo \Delta v do item (b). Ou seja, o objeto precisa deixar a Terra com velocidade residual, ao sair do campo terrestre, igual a \Delta v.
Agora relacionamos u_{\rm launch} (velocidade no lançamento, medida relativa à Terra na superfície) com v_\infty usando conservação de energia relativa ao poço gravitacional da Terra. A energia por unidade de massa no campo da Terra é
\frac{1}{2}u_{\rm launch}^2 - \frac{G M_\oplus}{R_\oplus} = \frac{1}{2}v_\infty^2,
onde M_\oplus e R_\oplus são massa e raio da Terra. Reorganizando:
u_{\rm launch} = \sqrt{v_\infty^2 + \dfrac{2G M_\oplus}{R_\oplus}}.
O termo \sqrt{2G M_\oplus / R_\oplus} é a velocidade de escape da Terra a partir da superfície, v_{\rm esc,Earth}. Assim:
u_{\rm launch}=\sqrt{v_\infty^2 + v_{\rm esc,Earth}^2}.
Substituindo v_\infty=\Delta v obtido no passo anterior, temos a fórmula final.

Passo 6

Cálculo numérico do item (c) com valores padrão:
  • Velocidade de escape da Terra (superfície):
v_{\rm esc,Earth}=\sqrt{\dfrac{2G M_\oplus}{R_\oplus}}\approx 11{,}19\\ \mathrm{km/s}.
(Aproximação padrão: 11{,}186\\ \mathrm{km/s}, arredondei para 11{,}19\\ \mathrm{km/s}.)
  • Já encontramos \Delta v = v_\infty \approx 12{,}34\\ \mathrm{km/s}.
Logo
u_{\rm launch}=\sqrt{(12{,}34\\ \mathrm{km/s})^2 + (11{,}19\\ \mathrm{km/s})^2}.
Faço as contas:
(12{,}34)^2 \approx 152{,}29,\qquad (11{,}19)^2 \approx 125{,}14,
152{,}29 + 125{,}14 = 277{,}43,
u_{\rm launch}\approx \sqrt{277{,}43}\\ \mathrm{km/s}\approx 16{,}65\\ \mathrm{km/s}.
Interpretação simples: é preciso lançar (relativo à Terra) com cerca de 16{,}7\\ \mathrm{km/s} na direção do movimento orbital para, depois de escapar da Terra, ter a velocidade heliocêntrica necessária para escapar do Sol a partir da órbita da Terra. Note que isso é muito maior que as velocidades de lançamento típicas de foguetes (por causa da enorme velocidade de escape do Sistema Sol+Terra combinados).

Passo 7

Resumo das fórmulas-chave (para consulta rápida na prova):
  • Escape do Sol a distância R:
v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G M_\odot}{R}}.
  • Velocidade orbital circular:
v_{\rm orb}=\sqrt{\dfrac{G M_\odot}{R}}.
  • Diferença necessária se já se tem v_{\rm orb}:
\Delta v = v_{\rm esc}-v_{\rm orb} = (\sqrt{2}-1)\sqrt{\dfrac{G M_\odot}{R}}.
  • Relação entre velocidade de lançamento na superfície da Terra u_{\rm launch} e a velocidade residual v_\infty (quando longe da Terra):
u_{\rm launch}=\sqrt{v_\infty^2 + v_{\rm esc,Earth}^2},
com v_\infty=\Delta v para o caso pedido no item (c).
Força as ideias na prova: derive escape pela condição \varepsilon=0, lembre-se da relação v_{\rm esc}=\sqrt{2}\,v_{\rm orb} que simplifica muito as contas.

Resposta

(a) \displaystyle v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G M_\odot}{R}}\approx 42{,}12\\ \mathrm{km/s}
(b) \displaystyle \Delta v = v_{\rm esc}-v_{\rm orb}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{\dfrac{G M_\odot}{R}}\approx 12{,}34\\ \mathrm{km/s}
(c) \displaystyle u_{\rm launch}=\sqrt{(\Delta v)^2+v_{\rm esc,Earth}^2}\approx 16{,}65\\ \mathrm{km/s}

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