75P*. Um satélite é colocado em uma órbita circular para ficar estacionário sobre um certo ponto da superfície da Terra. No entanto, por um erro de manobra. é colocado numa órbita cujo raio é 1 km maior que o da correta. Com que velocidade e em que direção se move o ponto da superfície da Terra, diretamente abaixo do satélite?
Passo 1
O enunciado diz que um satélite deveria ficar estacionário sobre um ponto da superfície (ou seja, orbitar com o mesmo período de rotação da Terra), mas por erro ficou com raio da órbita
maior que o correto. A pergunta: com que velocidade e em que direção se move o ponto da superfície da Terra que está diretamente abaixo do satélite (o sub-satellite point)?
Informações e hipóteses relevantes que vamos usar (peguei todos estes números padrão da física/astronomia):
- A órbita correta é a órbita geoestacionária, logo o raio correto
satisfaz a condição de que a velocidade angular orbital é igual à velocidade angular de rotação da Terra . - Vamos chamar o raio real onde o satélite ficou de
, com . - A constante gravitacional vezes massa da Terra é
(valor padrão). - Período de rotação da Terra (dia sideral)
, então - Raio médio da Terra na linha do equador que interessa para o ponto diretamente abaixo do satélite (geostacionário só existe sobre o equador) é
. - O satélite está, por hipótese, sobre o equador (caso contrário não seria “estacionário” na prática). Portanto o sub-satellite point está no equador e seu deslocamento será puramente longitudinal (leste/oeste).
O que será calculado:
- Determinar
(raio geoestacionário) e . - Determinar a velocidade angular real do satélite
com . - A velocidade angular relativa do sub-satellite point sobre a Terra é
; a velocidade linear no equador é (sinal e direção serão interpretados).
Passo 2
Calcular
e
.
A velocidade angular de rotação da Terra vale
O raio geoestacionário
satisfaz
Substituindo os valores padrão (peguei
e
acima) obtemos numericamente
que é o valor conhecido do raio geostacionário.
Passo 3
Calcular a velocidade angular do satélite na órbita errada
.
Pela lei de Kepler para órbita circular:
É útil escrever
em termos de
:
Como
é muito pequeno (
), podemos usar expansão linear para obter a diferença angular
. Expandindo
para pequeno
temos
. Logo
Passo 4
Avaliar numericamente
.
Calculemos a razão:
Portanto
Fazendo a conta:
Interpretação do sinal:
, ou seja
. O satélite orbita mais devagar que a rotação da Terra, portanto, visto da superfície terrestre, o sub-satellite point desloca-se para o oeste (a longitude do sub-satellite point diminui com o tempo). Explicação curta: se a Terra gira mais rápido que o satélite, a superfície “passará por baixo” do satélite no sentido do leste para o oeste aparente — o movimento do ponto sobre a superfície é para o oeste.
Passo 5
Calcular a velocidade linear do ponto no equador.
A velocidade linear do ponto diretamente abaixo (no equador) relativa à superfície da Terra vale
Substituindo
e
:
Convertendo para unidades mais intuitivas:
Para intuir a ordem de grandeza: em um dia (
) esse deslocamento corresponde a
ou seja, cerca de
por dia para o oeste.
Passo 6
Resumo físico e direção (motivação rápida)
- Porque o satélite ficou mais longe, sua velocidade angular diminuiu (
). - A Terra gira mais rápido localmente, então a superfície “passa” por baixo do satélite no sentido leste → oeste aparente.
- O sub-satellite point desloca-se para o oeste com velocidade aproximada
(ou ), equivalendo a cerca de por dia.