Pretendendo partir uma fermentação com o microrganismo X.
a) Calcule a potência requerida sem aeração de um tanque de mistura de diâmetro de 1,5 \mathrm{~m}, contendo 1,5 \mathrm{~m} de profundidade contendo água com um impelidor do tipo turbina Rushton de seis placas de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro (d) com 0,25 \mathrm{~d} de comprimento e 0,2 \mathrm{~d} de largura, operando com uma velocidade rotacional de 180 rpm.
b) Calcule a potência requerida com aeração de um tanque de mistura de diâmetro de 1,5 \mathrm{~m}, contendo 1,5 \mathrm{~m} de profundidade contendo água com um impelidor do tipo turbina Rushton de seis placas de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro (d) com 0,25 \mathrm{~d} de comprimento e 0,2 \mathrm{~d} de largura, operando com uma velocidade rotacional de 180 rpm. Ar é injetado a partir do fundo do tanque a uma vazão de 0.6 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~min}^{-1}. A operação é a temperatura ambiente. Valores da viscosidade e da densidade para sistemas aquosos são similares a \mu=0,001 \mathrm{Kg} \mathrm{m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e} \rho=1000 \mathrm{Kg} \mathrm{m}^{3}, logo \mu / \rho=v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1} e podem ser usados. Para verificar a potência do sistema aerado ( \mathrm{P}_{\mathrm{G}} ), a partir da potência do sistema sem aeração ( P ou \mathrm{P}_{0} ) utilize a seguinte expressão empírica:
\log \left(\frac{P_{G}}{P_{0}}\right)=-192 \cdot\left(\frac{d}{D}\right)^{4,38} \cdot\left(\frac{N d^{2}}{v}\right)^{0,115} \cdot\left(\frac{d N^{2}}{g}\right)^{1,96 \cdot\left(\frac{d}{D}\right)} \cdot\left(\frac{Q}{N d^{3}}\right)
Onde:
d é o diâmetro do impelidor, D é o diâmetro do tanque, N é a velocidade rotacional, g é a constante gravitacional de 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \nu é a viscosidade cinemática do líquido.
Os grupos adimensionais incluem:
\left(\frac{N d^{2}}{v}\right) é o número de Reynolds ( Re )
\left(\frac{d N^{2}}{g}\right) é o número de Froude (Fr)
\left(\frac{Q}{N d^{3}}\right) é o número de aeração (Na) que é proporcional a razão entre a velocidade superficial do gás e a velocidade da seção transversal do impelidor.
c) Calcule \mathrm{K}_{\mathrm{L}} a para a absorção de oxigênio. Considere a seguinte relação empírica abaixo (sistemas aquosos), sabendo que é aplicável a sistema aquoso com acuracidade de 20 40 \%, para volumes de reator até em torno de 2,6 \mathrm{~m}^{3} e relação entre \mathrm{P}_{\mathrm{G}} / \mathrm{V} entre 500 10000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Após isso, calcule a concentração de biomassa máxima que o biorreator pode comportar considerando um \mathrm{Q}_{\mathrm{O}_{2}}=3 \mathrm{mmol} /(\mathrm{g} \mathrm{h}).
K_{L} a=0,026 \cdot\left(\frac{P_{G}}{V}\right)^{0,4} \cdot U_{G}^{0,5}
Onde: \mathrm{U}_{\mathrm{G}} é a velocidade superficial do gás.
d) Sabendo dos detalhes explicitados nos quesitos anteriores, quais as dimensões características do sistema de agitação.
e) Calcule o nível de agitação e o tempo de mistura do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um tanque agitado com água (ρ = 1000 kg/m³, ν = 10⁻⁶ m²/s), diâmetro do tanque D = 1,50 m e altura de líquido H = 1,50 m. O impelidor é uma turbina Rushton de diâmetro d = 0,50 m, com seis pás de comprimento 0,25d e largura 0,20d. A rotação é N = 180 rpm (3,00 s⁻¹).
a) Calcular P₀ (sem aeração) usando o número de potência Nₚ para Rushton;
b) Calcular P_G (com aeração Q = 0,6 m³/min) pela correlação empírica dada;
c) Calcular K_La e, daí, a concentração máxima de biomassa suportada sabendo Q_O₂ = 3 mmol/(g·h);
d) Listar as dimensões características do sistema;
e) Calcular o nível de agitação (P_G/V) e estimar o tempo de mistura.

Passo 2

a) Escolhemos o número de potência típico para turbina Rushton em regime totalmente turbulento: Nₚ=6. O regime é turb. pois
Re=\frac{N\,d^2}{\nu}=\frac{3{,}00\;(0{,}50)^2}{10^{-6}}\approx7{,}5\times10^5\gg10^4.
A potência sem aeração é
P_0=N_p\,\rho\,N^3\,d^5 =6\cdot1000\cdot(3{,}00)^3\cdot(0{,}50)^5 \approx5{,}06\times10^3\;\mathrm{W}.

Passo 3

b) Primeiro calculemos os grupos adimensionais:
\frac{d}{D}=\frac{0{,}50}{1{,}50}=0{,}3333, \quad Re=7{,}5\times10^5, \quad Fr=\frac{d\,N^2}{g} =\frac{0{,}50\,(3{,}00)^2}{9{,}81}\approx0{,}459,
Na=\frac{Q}{N\,d^3} =\frac{0{,}6/60}{3{,}00\,(0{,}50)^3} \approx0{,}0267.
Aplicando a correlação
\log\!\Bigl(\frac{P_G}{P_0}\Bigr) =-192\,(d/D)^{4{,}38}\,Re^{0{,}115}\,Fr^{1{,}96\,(d/D)}\,Na \approx-0{,}119,
logo
\frac{P_G}{P_0}=10^{-0.119}\approx0{,}759 \quad\Longrightarrow\quad P_G\approx0{,}759\cdot5{,}06\times10^3\approx3{,}84\times10^3\;\mathrm{W}.

Passo 4

c) O volume do reator é
V=\frac{\pi D^2}{4}\,H =\frac{\pi\,(1{,}50)^2}{4}\,1{,}50\approx2{,}65\;\mathrm{m^3}.
A velocidade superficial do gás é
U_G=\frac{Q}{\text{área do tanque}} =\frac{0{,}6/60}{\pi\,(1{,}50)^2/4} \approx5{,}66\times10^{-3}\;\mathrm{m/s}.á
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K_La =0{,}026\;\bigl(\tfrac{P_G}{V}\bigr)^{0{,}4}\;U_G^{0{,}5} =0{,}026\;(1450)^{0{,}4}\;(5{,}66\times10^{-3})^{0{,}5} \approx0{,}036\;\mathrm{s^{-1}}.
Convertendo para h⁻¹: 0,036·3600≈130 h⁻¹.
A concentração máxima de biomassa X_{\max} vem de equilibrar a transferência de O₂ com o consumo:
sendo a concentração de O₂ saturado C^*\approx0{,}25 mmol/L, a taxa de transferência é
r_{O_2}=K_La\,(C^*-0)\approx0{,}036\cdot0{,}25=0{,}009\;\mathrm{mmol/(L\cdot s)}
ou 0,009·3600≈32,4 mmol/(L·h). Como cada grama de célula consome 3 mmol/h,
X_{\max}=\frac{32{,}4}{3}\approx10{,}8\;\mathrm{g/L}.

Passo 5

d) As dimensões características do sistema de agitação são:
• Diâmetro do tanque D=1{,}50 m
• Altura de líquido H=1{,}50 m (relação H/D=1)
• Diâmetro do impelidor d=0{,}50 m (relação d/D=0{,}333)
• Comprimento das pás =0{,}25\,d=0{,}125 m
• Largura das pás =0{,}20\,d=0{,}10 m
• Número de pás: 6
• Clearance típico (não fornecido) assume‐se cerca de H/3\approx0{,}50 m.

Passo 6

e)
O nível de agitação mede‐se pelo índice de energia por volume:
\frac{P_G}{V}\approx\frac{3{,}84\times10^3}{2{,}65}\approx1{,}45\times10^3\;\mathrm{W/m^3}.
Para o tempo de mistura (t_m) em tanques agitados com turbina Rushton usa‐se uma correlação empírica simples
t_m\approx10\,\frac{H/d}{N} =10\;\frac{1{,}50/0{,}50}{3{,}00}\approx10\;\frac{3}{3}\approx10\;\mathrm{s}.
Este valor está na faixa típica de 5–15 s para configurações semelhantes.

Resposta

a) P_0\approx5{,}06\times10^3\\ \mathrm{W}
b) P_G\approx3{,}84\times10^3\\ \mathrm{W}
c) K_La\approx0{,}036\\ \mathrm{s^{-1}} (≈130 h⁻¹) e X_{\max}\approx10{,}8\\ \mathrm{g/L}
d) D=1{,}50 m, H=1{,}50 m, d=0{,}50 m, pás de 0,125 m×0,10 m, d/D=0{,}333, H/D=1
e) \;P_G/V\approx1{,}45\times10^3\\ \mathrm{W/m^3},\;t_m\approx10\\ \mathrm{s}

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