d)
.
23. a) Encontre a solução geral da EDO
para
e para
.
23. a) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– Resolver o problema de valor inicial
– Resolver o problema de valor inicial
usando ODE linear com coeficientes constantes e coeficientes indeterminados.
– Encontrar a solução geral da EDO homogênea
– Encontrar a solução geral da EDO homogênea
nos três casos
,
e
, estudando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea de
A equação característica é
Calculando o discriminante:
logo as raízes são complexas:
Assim a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
Como o lado direito é polinomial de grau 2, tentamos
Calculamos
e substituímos:
Isto é
Igualando coeficientes a
e termo constante:
Logo
Passo 4
A solução geral do IVP é
Usamos
e
. Em
:
Derivando
Em
:
Então a solução do IVP é
Passo 5
Para a EDO homogênea
escrevemos a equação característica
com discriminante
. As soluções dependem do sinal de
.
Passo 6
Caso
:
. Escrevemos
Logo a solução geral é
Passo 7
Caso
:
, raiz dupla
. A solução geral é
Passo 8
Caso
:
, raízes reais distintas
Então
Resposta
Para o IVP
:
Para
:
– :
.
– :
.
– :
–
–
–