d) 2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=t^{2}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
23. a) Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0
para \alpha>1, \alpha=1 e para \alpha<1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– Resolver o problema de valor inicial
2y'' + 2y' + y = t^2,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
usando ODE linear com coeficientes constantes e coeficientes indeterminados.
– Encontrar a solução geral da EDO homogênea
y'' + 2y' + \alpha y = 0
nos três casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1, estudando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea de
2y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
2r^2 + 2r + 1 = 0.
Calculando o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot2\cdot1 = 4 - 8 = -4<0,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2\cdot2} = \frac{-2\pm 2i}{4} = -\tfrac12\pm \tfrac12 i.
Assim a solução homogênea é
y_h(t) = e^{-t/2}\Big(C_1\cos\frac t2 + C_2\sin\frac t2\Big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) de
2y'' + 2y' + y = t^2.
Como o lado direito é polinomial de grau 2, tentamos
y_p(t) = At^2 + Bt + C.
Calculamos
y_p' = 2At + B,\quad y_p'' = 2A,
e substituímos:
2\cdot(2A) + 2\,(2At+B) + (At^2+Bt+C) = t^2.
Isto é
4A + 4At + 2B + At^2 + Bt + C = At^2 + (4A+B)t + (4A+2B+C) = t^2.
Igualando coeficientes a t^2,\,t e termo constante:
A = 1,\quad 4A + B = 0\\ \Rightarrow\\ B = -4,\quad 4A + 2B + C = 0\\ \Rightarrow\\ C = 4.
Logo
y_p(t) = t^2 - 4t + 4.

Passo 4

A solução geral do IVP é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-t/2}\Big(C_1\cos\tfrac t2 + C_2\sin\tfrac t2\Big) + t^2 - 4t + 4.
Usamos y(0)=0 e y'(0)=0. Em t=0:
y(0)=C_1 + 0 + 4 = 0\\ \Rightarrow\\ C_1 = -4.
Derivando
y'(t) = e^{-t/2}\Big[-\tfrac12(C_1\cos\tfrac t2 + C_2\sin\tfrac t2) + \tfrac12(-C_1\sin\tfrac t2 + C_2\cos\tfrac t2)\Big] + 2t -4.
Em t=0:
y'(0) = -\tfrac12 C_1 + \tfrac12 C_2 -4 = 0 \\ \Rightarrow\\\ -\tfrac12(-4) + \tfrac12 C_2 -4 = 0 \\ \Rightarrow\\\ 2 + \tfrac12 C_2 -4 = 0 \\ \Rightarrow\\ C_2 = 4.
Então a solução do IVP é
\boxed{y(t) = e^{-t/2}\bigl(-4\cos\tfrac t2 + 4\sin\tfrac t2\bigr) + t^2 -4t +4.}

Passo 5

Para a EDO homogênea
y'' + 2y' + \alpha y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 + 2r + \alpha = 0,
com discriminante \Delta = 4 - 4\alpha = 4(1-\alpha). As soluções dependem do sinal de 1-\alpha.

Passo 6

Caso \alpha>1: \Delta<0. Escrevemos
\Delta = -4(\alpha-1),\quad r = -1 \pm i\sqrt{\alpha-1}.
Logo a solução geral é
\boxed{y(t) = e^{-t}\Bigl(C_1\cos\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr) + C_2\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr)\Bigr).}

Passo 7

Caso \alpha=1: \Delta=0, raiz dupla r=-1. A solução geral é
\boxed{y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.}

Passo 8

Caso \alpha<1: \Delta>0, raízes reais distintas
r = -1 \pm \sqrt{1-\alpha}.
Então
\boxed{y(t) = C_1\,e^{(-1+\sqrt{1-\alpha})t} + C_2\,e^{(-1-\sqrt{1-\alpha})t}.}

Resposta

Para o IVP 2y''+2y'+y=t^2,\;y(0)=0,\;y'(0)=0:
y(t) = e^{-t/2}\bigl(-4\cos\tfrac t2 + 4\sin\tfrac t2\bigr) + t^2 - 4t + 4.
Para y''+2y'+\alpha y=0:
\alpha>1: y = e^{-t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{\alpha-1}\,t)+C_2\sin(\sqrt{\alpha-1}\,t)\bigr).
\alpha=1: y = (C_1+C_2t)e^{-t}.
\alpha<1: y = C_1e^{(-1+\sqrt{1-\alpha})t}+C_2e^{(-1-\sqrt{1-\alpha})t}.

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