1. Mostre que se a equação inicial (2) tem duas raízes reais distintas, r_{1} e r_{2}, então
y_{1}(x)=x^{r_{1}} \quad \text { e } \quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais de (1) e, portanto,
y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}
é a solução geral de (1), para x>0.
5. Se a equação inicial (2) tem duas raízes complexas, r_{1}=\alpha+i \beta e r_{2}=\alpha-i \beta, use a fórmula de Euler para escrever a solução geral complexa em termos das soluções reais, para x>0,

Passo 1

O enunciado refere-se à equação de Cauchy–Euler de segunda ordem
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0,
cuja “equação inicial (2)” é o polinômio característico
r(r-1) + a\,r + b = 0.
No item 4 devemos mostrar que, se essa equação característi­ca tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então
y_{1}(x)=x^{r_{1}},\quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais e a solução geral é
y(x)=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}},\quad x>0.
No item 5, quando as raízes forem complexas r_{1}=\alpha+i\beta, r_{2}=\alpha-i\beta, usaremos a fórmula de Euler para obter duas soluções reais independentes e escrever a solução geral real para x>0.

Passo 2

Substituímos a forma proposta y(x)=x^{r} na equação de Euler. Calculamos
y'(x)=r\,x^{r-1}, \quad y''(x)=r(r-1)\,x^{r-2},
e, ao inserir em
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0,
obtém-se
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + a\,x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + b\,x^{r} = x^{r}\bigl[r(r-1)+a\,r+b\bigr]=0.
Como x^{r}\neq0 para x>0, a condição é exatamente
r(r-1)+a\,r+b=0,
ou seja, qualquer raiz r dessa equação gera uma solução y=x^{r}.

Passo 3

Quando há duas raízes reais distintas r_{1}\neq r_{2}, obtemos duas soluções \;y_{1}(x)=x^{r_{1}} e \;y_{2}(x)=x^{r_{2}}.
Verificamos a independência linear calculando o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} x^{r_{1}} & x^{r_{2}}\\[6pt] r_{1}x^{r_{1}-1} & r_{2}x^{r_{2}-1} \end{vmatrix} = (r_{2}-r_{1})\,x^{r_{1}+r_{2}-1}.
Como r_{2}-r_{1}\neq0 e x^{r_{1}+r_{2}-1}\neq0 para x>0, temos W\neq0, logo são independentes e formam um conjunto fundamental.]

Passo 4

Pelo Teorema da existência de duas soluções lineares independentes, a solução geral é
y(x)=c_{1}\,x^{r_{1}} + c_{2}\,x^{r_{2}},\quad x>0,
onde c_{1},c_{2} são constantes arbitrárias. Isso conclui o item 4.

Passo 5

Agora suponha raízes complexas conjugadas
r_{1}=\alpha+i\beta,\quad r_{2}=\alpha-i\beta.
As soluções complexas correspondentes são
y_{1}(x)=x^{\alpha+i\beta}=x^{\alpha}\,e^{i\beta\ln x}, \quad y_{2}(x)=x^{\alpha-i\beta}=x^{\alpha}\,e^{-i\beta\ln x}.
A solução geral complexa é
y(x)=C_{1}\,x^{\alpha}\,e^{i\beta\ln x}+C_{2}\,x^{\alpha}\,e^{-i\beta\ln x}.
Usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta com \theta=\beta\ln x, escrevemos
e^{i\beta\ln x}=\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x), \quad e^{-i\beta\ln x}=\cos(\beta\ln x)-i\sin(\beta\ln x).
Tomando combinações lineares reais definindo A e B adequados, obtemos duas soluções reais independentes
y_{c1}(x)=x^{\alpha}\cos\bigl(\beta\ln x\bigr), \quad y_{c2}(x)=x^{\alpha}\sin\bigl(\beta\ln x\bigr).
Portanto, a solução geral real para x>0 é
y(x)=x^{\alpha}\bigl[A\cos(\beta\ln x)+B\sin(\beta\ln x)\bigr].

Resposta

Item 4:
y(x)=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}},\quad x>0,
quando r_{1}\neq r_{2} são reais.
Item 5:
y(x)=x^{\alpha}\bigl[A\cos(\beta\ln x)+B\sin(\beta\ln x)\bigr],\quad x>0,
quando r_{1,2}=\alpha\pm i\beta.

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