Mostre que se a equação inicial (2) tem duas raízes reais distintas, r_{1} e r_{2}, então
y_{1}(x)=x^{r_{1}} \quad \text { e } \quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais de (1) e, portanto,
y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}
é a solução geral de (1), para x>0.
5. Se a equação inicial (2) tem duas raízes complexas, r_{1}=\alpha+i \beta e r_{2}=\alpha-i \beta, use a fórmula de Euler para escrever a solução geral complexa em termos das soluções reais, para x>0,
Passo 1
O enunciado refere-se à equação de Cauchy–Euler de segunda ordem
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0,
cuja “equação inicial (2)” é o polinômio característico
r(r-1) + a\,r + b = 0.
No item 4 devemos mostrar que, se essa equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então
y_{1}(x)=x^{r_{1}},\quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais e a solução geral é
y(x)=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}},\quad x>0.
No item 5, quando as raízes forem complexas r_{1}=\alpha+i\beta, r_{2}=\alpha-i\beta, usaremos a fórmula de Euler para obter duas soluções reais independentes e escrever a solução geral real para x>0.
Passo 2
Substituímos a forma proposta y(x)=x^{r} na equação de Euler. Calculamos
ou seja, qualquer raiz r dessa equação gera uma solução y=x^{r}.
Passo 3
Quando há duas raízes reais distintas r_{1}\neq r_{2}, obtemos duas soluções \;y_{1}(x)=x^{r_{1}} e \;y_{2}(x)=x^{r_{2}}.
Verificamos a independência linear calculando o Wronskiano: