Resolva as equações:
\left(a y^{2}+b\right)^{1 / 2}-x y y^{\prime}=0, para a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\sqrt{a\,y^{2}+b}\;-\;x\,y\,\frac{dy}{dx}=0,
com a,b\in\mathbb{R} e a\neq0. O conteúdo aqui é equação de variáveis separáveis, pois podemos isolar \frac{dy}{dx} e escrever um lado só em y e outro só em x.

Passo 2

Reescrevemos isolando a derivada:
x\,y\,\frac{dy}{dx} \;=\;\sqrt{a\,y^{2}+b} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} \;=\;\frac{\sqrt{a\,y^{2}+b}}{x\,y}.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{y}{\sqrt{a\,y^{2}+b}}\,dy \;=\;\frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos a substituição u = a\,y^{2}+b, de modo que du = 2a\,y\,dy, isto é, y\,dy = \tfrac{du}{2a}. Logo,
\int \frac{y}{\sqrt{a\,y^{2}+b}}\,dy =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2a} =\frac{1}{2a}\int u^{-\tfrac12}du =\frac{1}{2a}\cdot 2\,u^{\tfrac12} =\frac{1}{a}\sqrt{u} =\frac{1}{a}\sqrt{a\,y^{2}+b}.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Igualando as integrais e absorvendo constantes,
\frac{1}{a}\sqrt{a\,y^{2}+b} =\ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{a\,y^{2}+b} =a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Este é o formato implícito da solução geral.

Passo 5

Podemos expor y de forma explícita elevando ao quadrado:
a\,y^{2}+b = \bigl(a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} =\frac{\bigl(a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)^{2}-b}{a},
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y(x) =\pm\sqrt{\frac{\bigl(a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)^{2}-b}{a}}.

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
\sqrt{a\,y^{2}+b}=a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}
ou explicitamente por
y(x)=\pm\sqrt{\frac{\bigl(a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)^{2}-b}{a}}.

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