Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
onde
O que o enunciado pede é a solução
(ou seja, expressar
em função de
, levando em conta as três regiões onde
tem valores diferentes).
As informações relevantes são:
Passo 2
Escolha do método e por quê. Temos uma equação linear com coeficientes constantes e um termo forçante em partes. Uma forma elegante e direta de resolver problemas assim (com condições iniciais nulas) é usar a solução por convolução (Princípio de Duhamel / função de Green): quando as condições iniciais são nulas, a solução pode ser escrita como convolução do forçante com a resposta ao impulso (função de Green). Isso evita ter que montar soluções separadas com constantes ajustadas em cada intervalo e é especialmente conveniente quando
é uma função localizada em um intervalo (como aqui). Vou então aplicar essa técnica porque é mais simples e sistemática para este caso.
Passo 3
Vou obter a função de Green (resposta ao impulso). Primeiro considero a solução do problema homogêneo associado
As soluções fundamentais são funções seno e cosseno de frequência
, isto é, as duas soluções independentes são
e
. A forma geral é
onde
e
são constantes.
A função de Green
para o operador
com condições iniciais nulas é a solução de
(Proporção:
porque
é a resposta ao impulso unitário na primeira derivada; essa normalização é padrão para obter a convolução
.) Usando a forma geral:
As condições iniciais dão
e
então
implica
. Logo
Passo 4
Fórmula de convolução (explicação rápida). Para uma equação linear com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, a solução é
onde
é a função de Green que acabamos de achar. Intuitivamente: pense que
aplica um “pequeno impulso” em
e cada impulso gera uma resposta
; somando (integrando) todas as contribuições obtemos
. Aqui, como
, obtemos a fórmula prática
Passo 5
Usar a forma de
para simplificar o integral. Como
para
,
para
e
para
, o integrando só contribui quando
estiver em
. Para um
dado a integral vai ter limites dependentes de
: a contribuição é sobre a interseção
. Assim há três casos naturais para
:
- Caso 1:
. A interseção é vazia, logo em todo e
Passo 6
Caso 2:
. Neste caso a interseção é
. Então
O fator
e
se cancelam, ficando
Faço a substituição
. Quando
temos
. Quando
temos
. Como
,
Agora integro
. Uma primitiva é
. Portanto
Como
e
(porque
tem período
), obtemos
Passo 7
Caso 3:
. Agora a interseção
é todo
. Então
Faço novamente
. Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
A integral de
sobre esse intervalo é
Note que
e
(porque subtrair
também não altera o cosseno). Portanto os dois termos são iguais e a diferença é zero. Logo
Passo 8
Verificação rápida de continuidade e sentido físico (para dar confiança): nas junções
e
a solução e sua derivada batem com as peças adjacentes:
As derivadas também coincidem (por exemplo
para
, e vale
nos extremos), então a solução é suave como esperado. Interpretando: o forçamento aplicado em
produz movimento durante esse intervalo, mas como a duração do forçamento corresponde a um número inteiro de meias-períodos da oscilação natural, as contribuições somam-se a zero ao final e o sistema retorna ao repouso para
.