y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\\\ 2, & \text { para } \pi \leq t<3 \pi \\\\ 0, & \text { para } t \geq 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde f(t)\) é a função em partes \[f(t)=\begin{cases} 0, & \text{para } 0\le t<\pi,\\[4pt] 2, & \text{para } \pi\le t<3\pi,\\[4pt] 0, & \text{para } t\ge 3\pi. \end{cases}
O que o enunciado pede é a solução y(t)\] para todo \(t\ge0 (ou seja, expressar y(t) em função de t, levando em conta as três regiões onde f tem valores diferentes).
As informações relevantes são:
\text{EQUAÇÃO: } y''+4y=f(t),ÇÃ
\text{CONDIÇÕES INICIAIS: } y(0)=0,\; y'(0)=0,ÇÕ
\text{FORÇAMENTO: } f(t)=0 \text{ em } [0,\pi),\; f(t)=2 \text{ em } [\pi,3\pi),\; f(t)=0 \text{ em } [3\pi,\infty).Ç]

Passo 2

Escolha do método e por quê. Temos uma equação linear com coeficientes constantes e um termo forçante em partes. Uma forma elegante e direta de resolver problemas assim (com condições iniciais nulas) é usar a solução por convolução (Princípio de Duhamel / função de Green): quando as condições iniciais são nulas, a solução pode ser escrita como convolução do forçante com a resposta ao impulso (função de Green). Isso evita ter que montar soluções separadas com constantes ajustadas em cada intervalo e é especialmente conveniente quando f é uma função localizada em um intervalo (como aqui). Vou então aplicar essa técnica porque é mais simples e sistemática para este caso.

Passo 3

Vou obter a função de Green (resposta ao impulso). Primeiro considero a solução do problema homogêneo associado
y_h''+4y_h=0.
As soluções fundamentais são funções seno e cosseno de frequência 2, isto é, as duas soluções independentes são \cos(2t) e \sin(2t). A forma geral é
y_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes.
A função de Green g(t) para o operador L[y]=y''+4y com condições iniciais nulas é a solução de
g''+4g=0,\qquad g(0)=0,\qquad g'(0)=1.
(Proporção: g'(0)=1 porque g é a resposta ao impulso unitário na primeira derivada; essa normalização é padrão para obter a convolução y(t)=\int_0^t g(t-s)f(s)\,ds.) Usando a forma geral:
g(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
As condições iniciais dão g(0)=A=0 e g'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t) então g'(0)=2B=1 implica B=\tfrac12. Logo
g(t)=\tfrac12\sin(2t).

Passo 4

Fórmula de convolução (explicação rápida). Para uma equação linear com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, a solução é
y(t)=\int_0^t g(t-s)\,f(s)\,ds,
onde g é a função de Green que acabamos de achar. Intuitivamente: pense que f(s)\,ds aplica um “pequeno impulso” em s e cada impulso gera uma resposta g(t-s); somando (integrando) todas as contribuições obtemos y(t). Aqui, como g(t)=\tfrac12\sin(2t), obtemos a fórmula prática
y(t)=\int_0^t \tfrac12\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds.

Passo 5

Usar a forma de f para simplificar o integral. Como f(s)=0 para 0\le s<\pi, f(s)=2 para \pi\le s<3\pi e f(s)=0 para s\ge3\pi, o integrando só contribui quando s estiver em [\pi,3\pi). Para um t dado a integral vai ter limites dependentes de t: a contribuição é sobre a interseção [0,t]\cap[\pi,3\pi). Assim há três casos naturais para t:
  • Caso 1: 0\le t<\pi. A interseção é vazia, logo f(s)=0 em todo [0,t] e
y(t)=0.

Passo 6

Caso 2: \pi\le t<3\pi. Neste caso a interseção é [\pi,t]. Então
y(t)=\int_0^t \tfrac12\sin\bigl(2(t-s)\bigr)f(s)\,ds =\int_{\pi}^{t} \tfrac12\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\cdot 2\,ds.
O fator 2 e \tfrac12 se cancelam, ficando
y(t)=\int_{\pi}^{t} \sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds.
Faço a substituição u=t-s. Quando s=\pi temos u=t-\pi. Quando s=t temos u=0. Como ds=-du,
y(t)=\int_{u=t-\pi}^{u=0} \sin(2u)(-du) =\int_{0}^{t-\pi} \sin(2u)\,du.
Agora integro \sin(2u). Uma primitiva é -\tfrac12\cos(2u). Portanto
y(t)=\Bigl[-\tfrac12\cos(2u)\Bigr]_{0}^{\,t-\pi} =-\tfrac12\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)+\tfrac12\cos(0).
Como \cos(0)=1 e \cos(2(t-\pi))=\cos(2t-2\pi)=\cos(2t) (porque \cos tem período 2\pi), obtemos
y(t)=-\tfrac12\cos(2t)+\tfrac12 =\tfrac12\bigl(1-\cos(2t)\bigr), \qquad \text{para } \pi\le t<3\pi.

Passo 7

Caso 3: t\ge 3\pi. Agora a interseção [0,t]\cap[\pi,3\pi) é todo [\pi,3\pi]. Então
y(t)=\int_{\pi}^{3\pi} \tfrac12\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\cdot 2\,ds =\int_{\pi}^{3\pi} \sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds.
Faço novamente u=t-s. Quando s=\pi temos u=t-\pi. Quando s=3\pi temos u=t-3\pi. Assim
y(t)=\int_{u=t-\pi}^{u=t-3\pi} \sin(2u)(-du) =\int_{t-3\pi}^{\,t-\pi} \sin(2u)\,du.
A integral de \sin(2u) sobre esse intervalo é
\Bigl[-\tfrac12\cos(2u)\Bigr]_{t-3\pi}^{\,t-\pi} =-\tfrac12\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)+\tfrac12\cos\bigl(2(t-3\pi)\bigr).
Note que \cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)=\cos(2t-2\pi)=\cos(2t) e \cos\bigl(2(t-3\pi)\bigr)=\cos(2t-6\pi)=\cos(2t) (porque subtrair 6\pi também não altera o cosseno). Portanto os dois termos são iguais e a diferença é zero. Logo
y(t)=0,\qquad \text{para } t\ge 3\pi.

Passo 8

Verificação rápida de continuidade e sentido físico (para dar confiança): nas junções t=\pi e t=3\pi a solução e sua derivada batem com as peças adjacentes:
\text{em } t=\pi:\quad y(\pi^-)=0,\quad y(\pi^+)=\tfrac12(1-\cos(2\pi))=0.
\text{em } t=3\pi:\quad y(3\pi^-)=\tfrac12(1-\cos(6\pi))=0,\quad y(3\pi^+)=0.
As derivadas também coincidem (por exemplo y'(t)=\sin(2t) para \pi<t<3\pi, e vale 0 nos extremos), então a solução é suave como esperado. Interpretando: o forçamento aplicado em [\pi,3\pi] produz movimento durante esse intervalo, mas como a duração do forçamento corresponde a um número inteiro de meias-períodos da oscilação natural, as contribuições somam-se a zero ao final e o sistema retorna ao repouso para t\ge3\pi.

Resposta

y(t)=0,\quad \text{para } 0\le t<\pi. \n
y(t)=\tfrac12\bigl(1-\cos(2t)\bigr),\quad \text{para } \pi\le t<3\pi. \n
y(t)=0,\quad \text{para } t\ge 3\pi.

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