(a) y^prime=4 cos 4 x
(b) y^prime=-5 sen 5 x
© f^prime(x)=3 e^3 x
(d) f^prime(x)=-8 sen 8 x
(e) y^prime=3 t^2 cos t^3
(f) g^prime(t)=22 t+1
(g) x^prime=cos t cdot e^sen t
(h) f^prime(x)=-e^x sen e^x
(i) y^prime=3(cos x-sen x)(sen x+cos x)^2
(j) y^prime=32 raiz3 x+1
(k) f^prime(x)=23(x+1)^2 raiz[3](x+1)^2(x-1)^2

Passo 1

Estamos buscando primitivar, ou seja, dado y', encontrar y tal que y'=dydx. Isso envolve integração indefinida e uso da regra da cadeia reversa.

Passo 2

Para (a) temos y'=4cos4x. Sabendo que ddx(sin4x)=4cos4x, concluímos
y=sin4x+C

Passo 3

Para (b) y'=-5sin5x. Como ddx(cos5x)=-5sin5x,
y=cos5x+C

Passo 4

Para © f'(x)=3e^3x. Usando ddx(e^3x)=3e^3x,
f(x)=e^3x+C

Passo 5

Para (d) f'(x)=-8sin8x. Como ddx(cos8x)=-8sin8x,
f(x)=cos8x+C

Passo 6

Para (e) y'=3t^2cos(t^3). Observamos ddt(sin(t^3))=3t^2cos(t^3),
y=sin(t^3)+C

Passo 7

Para (f) g'(t)=22t+1. Fazemos u=2t+1, du=2dt,
g(t)=integral22t+1dt=integral1udu=ln|u|+C=ln|2t+1|+C

Passo 8

Para (g) x'=cos t,e^sin t. Notamos que ddt(e^sin t)=cos t,e^sin t,
x=e^sin t+C

Passo 9

Para (h) f'(x)=-e^xsin(e^x). Sabendo ddx(cos(e^x))=-sin(e^x)cdot e^x,
f(x)=cos(e^x)+C

Passo 10

Para (i) y'=3(cos x-sin x)(sin x+cos x)^2. Tomamos u=sin x+cos x, então du=(cos x-sin x)dx,
y=integral3u^2,du=u^3+C=(sin x+cos x)^3+C

Passo 11

Para (j) y'=32raiz3x+1=32(3x+1)^-1/2. Com u=3x+1, du=3dx,
y=integral32u^-1/2dx=integral12u^-1/2du=u^1/2+C=raiz3x+1+C

Passo 12

Para (k) f'(x)=23(x+1)^2raiz[3](x+1)^2(x-1)^2. Simplificando e usando w=x-1x+1, obtemos
f(x)=l(x-1x+1r)^1/3+C

Resposta

(a) y=\sin4x+C
(b) y=\cos5x+C
© f(x)=e^{3x}+C
(d) f(x)=\cos8x+C
(e) y=\sin(t^3)+C
(f) g(t)=\ln|2t+1|+C
(g) x=e^{\sin t}+C
(h) f(x)=\cos(e^x)+C
(i) y=(\sin x+\cos x)^3+C
(j) y=\sqrt{3x+1}+C
(k) f(x)=\bigl(\frac{x-1}{x+1}\bigr)^{1/3}+C

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