Para cada uma das funções abaixo, determine a derivada e a derivada de segunda ordem.
(a) f(x)=4 x^4+2 x
© f(x)=5 x^2-1x^3
(e) f(x)=x|x|
(b) f(x)=1x
(d) f(x)=3 x^3-6 x+1
(f) f(x)=cx^2+3 x, se x <= 1 5 x-1, se x>1

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de primeira e de segunda ordem de seis funções, usando principalmente a regra da potência, o tratamento de potências negativas, a derivada de produto com valor absoluto e derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Começando pelas funções polinomiais (a) e (d). Aqui usamos a regra da potência: se f(x)=ax^n, então f'(x)=anx^n-1 e f''(x)=an(n-1)x^n-2.
Para (a) f(x)=4x^4+2x:
f'(x)=4cdot4x^3+2=16x^3+2
f''(x)=16,3x^2=48x^2.
Para (d) f(x)=3x^3-6x+1:
f'(x)=3cdot3x^2-6=9x^2-6
f''(x)=9,2x=18x.

Passo 3

Agora as funções com potências negativas (b) e ©. A ideia é reescrever x^-n e aplicar a regra da potência.
Para (b) f(x)=1/x=x^-1:
f'(x)=-1,x^-2=-1/x^2
f''(x)=-1,(-2)x^-3=2/x^3.
Para © f(x)=5x^2-1/x^3=5x^2-x^-3:
f'(x)=5,2x+(-3)(-1)x^-4=10x+3/x^4
f''(x)=10+3(-4)x^-5=10-12/x^5.

Passo 4

Para (e) f(x)=x|x| interpretamos valor absoluto:
f(x)=x^2,&x>=0-x^2,&x<0.
Derivando em cada ramo e checando em x=0:
f'(x)=2x,&x>00,&x=0-2x,&x<0,
f''(x)=2,&x>0não existe,&x=0-2,&x<0 ã

Passo 5

Por fim (f) função por partes:
f(x)=x^2+3x,&x<=15x-1,&x>1.
Derivando cada ramo e verificando continuidade em x=1:
f'(x)=2x+3,&x<15,&x>1, f'(1)=5,
f''(x)=2,&x<10,&x>1, f''(1) não existe ã

Resposta

(a) f(x)=4x^4+2x
f'(x)=16x^3+2, f''(x)=48x^2.
(b) f(x)=1/x
f'(x)=-1/x^2, f''(x)=2/x^3.
© f(x)=5x^2-1/x^3
f'(x)=10x+3/x^4, f''(x)=10-12/x^5.
(d) f(x)=3x^3-6x+1
f'(x)=9x^2-6, f''(x)=18x.
(e) f(x)=x|x|
f'(x)=2x,&x>00,&x=0-2x,&x<0, f''(x)=2,&x>0não existe,&x=0-2,&x<0 ã
(f) f(x)=x^2+3x,&x<=15x-1,&x>1
f'(x)=2x+3,&x<15,&x>1,;f'(1)=5;
f''(x)=2,&x<10,&x>1,;f''(1) não existe ã

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