Calcule a derivada de segunda ordem de cada uma das funções
abaixo.
(a)
©
(e)
(g)
(b)
(d)
(f)
(h)
(a)
©
(e)
(g)
(b)
(d)
(f)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem de oito funções diferentes. Vamos usar regras de derivação como: regra do poder, regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas. Cada parte envolverá encontrar primeiro a derivada primeira e depois derivar novamente para obter a segunda ordem.
Passo 2
Para (a) y=
: definimos u=
. Aplicando a regra da cadeia, temos
Passo 3
Agora derivamos y’ usando produto (ou direto a forma fatorada):
$$y’=-3(1+ x{-1})2x^{-2}.
Passo 4
Para (b) y=
: definimos v=1- x^{1/2}. Então
Passo 5
Derivando de novo com produto e cadeia, obtemos
Passo 6
Para © y=
:
$$y’=\tfrac19\bigl(-\csc2(3x-1)\bigr)\cdot3=-\tfrac13\csc2(3x-1).
$$
Passo 7
Para (d) y=9\tan(x/3):
$$y’’=3\cdot2\sec2(x/3)\tan(x/3)\cdot\tfrac13=2\sec2(x/3)\tan(x/3).
$$
Passo 8
Para (e) y=x^2\ln(2x): usamos produto u=x^2 e w=\ln(2x), com w’=1/x. Então
$$y’=2x\ln(2x)+x^2\cdot\tfrac1x=2x\ln(2x)+x,
$$
$$y’’=2\ln(2x)+2+1=2\ln(2x)+3.
$$
Passo 9
Para (f) y=\tfrac{\ln x}{x^2}=\ln x,x^{-2}:
derivando de novo por produto,
$$y’’=(6\ln x-5)x^{-4}.
$$
Passo 10
Para (g) y=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr): é conhecida a identidade y=\operatorname{arsinh}(x), logo
$$y’=\tfrac1{\sqrt{1+x^2}},\quad y’’=-\tfrac{x}{(1+x2){3/2}}.
$$
Passo 11
Para (h) y=\ln\bigl(\sec x+\tan x\bigr): usa-se a derivada do logaritmo e as derivadas de sec e tan, chegando em
$$y’=\sec x,\quad y’’=\sec x\tan x.
$$
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)