Calcule a derivada de segunda ordem de cada uma das funções y=f(x) abaixo.
(a) y=(1+1x)^3
© y=19 cotg(3 x-1)
(e) y=x^2 ln (2 x)
(g) y=ln (x+raiz1+x^2)
(b) y=(1-raizx)^-1
(d) y=9 tg(x3)
(f) y=ln xx^2
(h) y=ln (sec x+tg x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem de oito funções diferentes. Vamos usar regras de derivação como: regra do poder, regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas. Cada parte envolverá encontrar primeiro a derivada primeira e depois derivar novamente para obter a segunda ordem.

Passo 2

Para (a) y= (1+1x)^3: definimos u= 1+x^-1. Aplicando a regra da cadeia, temos
u=1+x^-1, u'=-x^-2,
y=u^3implies y'=3u^2,u'=-3(1+tfrac1x)^2,x^-2

Passo 3

Agora derivamos y’ usando produto (ou direto a forma fatorada):
$$y’=-3(1+ x{-1})2x^{-2}.
y'=-3(1+ x^-1)^2x^-2 y’’=6(1+ x{-1})(x+2)x{-4}
y''=6(1+ x^-1)(x+2)x^-4 y’’=\frac{6(x+1)(x+2)}{x^5}.$$

Passo 4

Para (b) y= (1-raizx)^-1: definimos v=1- x^{1/2}. Então
v'= -tfrac12x^-1/2, y=v^-1implies y'=v^-2v'=tfrac12x^-1/2(1-raizx)^-2

Passo 5

Derivando de novo com produto e cadeia, obtemos
y''=-tfrac14x^-3/2(1-raizx)^-2+tfrac12x^-1(1-raizx)^-3

Passo 6

Para © y= tfrac19cot(3x-1):
$$y’=\tfrac19\bigl(-\csc2(3x-1)\bigr)\cdot3=-\tfrac13\csc2(3x-1).
y'=tfrac19l(-csc^2(3x-1)r)cdot3=-tfrac13csc^2(3x-1) y’’=2\csc^2(3x-1)\cot(3x-1).
$$

Passo 7

Para (d) y=9\tan(x/3):
y'=9sec^2(x/3)cdottfrac13=3sec^2(x/3),
$$y’’=3\cdot2\sec2(x/3)\tan(x/3)\cdot\tfrac13=2\sec2(x/3)\tan(x/3).
$$

Passo 8

Para (e) y=x^2\ln(2x): usamos produto u=x^2 e w=\ln(2x), com w’=1/x. Então
$$y’=2x\ln(2x)+x^2\cdot\tfrac1x=2x\ln(2x)+x,
$$
$$y’’=2\ln(2x)+2+1=2\ln(2x)+3.
$$

Passo 9

Para (f) y=\tfrac{\ln x}{x^2}=\ln x,x^{-2}:
y'=x^-3(1-2ln x),
derivando de novo por produto,
$$y’’=(6\ln x-5)x^{-4}.
$$

Passo 10

Para (g) y=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr): é conhecida a identidade y=\operatorname{arsinh}(x), logo
$$y’=\tfrac1{\sqrt{1+x^2}},\quad y’’=-\tfrac{x}{(1+x2){3/2}}.
$$

Passo 11

Para (h) y=\ln\bigl(\sec x+\tan x\bigr): usa-se a derivada do logaritmo e as derivadas de sec e tan, chegando em
$$y’=\sec x,\quad y’’=\sec x\tan x.
$$

Resposta

(a) y''=dfrac6(x+1)(x+2)x^5
(b) y''=-tfrac14x^-3/2(1-raizx)^-2+tfrac12x^-1(1-raizx)^-3
© y''=2csc^2(3x-1)cot(3x-1)
(d) y''=2sec^2l(tfracx3r)tanl(tfracx3r)
(e) y''=2ln(2x)+3
(f) y''=dfrac6ln x-5x^4
(g) y''=-dfracx(1+x^2)^3/2
(h) y''=sec xtan x

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