Se B=\{(1,0),(0,1)\}, B^{\prime}=\{(1,0),(0,1)\} e [T]_{B^{\prime}}^{B} é a matriz
\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right],
determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O problema pede para determinar a transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} sabendo que as bases do domínio e do contradomínio são
B=\{(1,0),(0,1)\},\qquad B'=\{(1,0),(0,1)\},
e que a matriz de T em relação a essas bases é
[T]_{B'}^{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{array}\right].
As informações relevantes são: os vetores das bases (ambas são a base canônica) e a matriz 2\times2 dada. A pergunta é: qual é a fórmula de T aplicada a um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2?]

Passo 2

Lembrete didático importante (passo-a-passo do que significa a matriz de uma transformação linear): se B=\{b_1,b_2\} é a base do domínio e B'=\{b'_1,b'_2\} é a base do contradomínio, então a matriz [T]_{B'}^{B} tem as coordenadas de T(b_1) e T(b_2) em colunas. Ou seja, a primeira coluna é o vetor de coordenadas de T(b_1) em B' e a segunda coluna é o vetor de coordenadas de T(b_2) em B'.
Explicando com calma: o j-ésimo vetor-coluna da matriz representa [\,T(b_j)\,]_{B'}. Se as bases são a base canônica, essas coordenadas são exatamente as componentes dos vetores imagem em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Aplicando o conceito à nossa matriz:
[T]_{B'}^{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{array}\right].
A primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}, que é [\,T((1,0))\,]_{B'}. Como B' é a base canônica, isso significa
T((1,0))=(1,0).
A segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, que é [\,T((0,1))\,]_{B'}. Logo
T((0,1))=(0,-1).]

Passo 4

Agora usamos linearidade para obter T em um vetor genérico. Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear das bases:
(x,y)=x(1,0)+y(0,1).
Pela linearidade de T,
T(x,y)=x\,T((1,0))+y\,T((0,1)).
Substituindo os resultados do passo anterior:
T(x,y)=x(1,0)+y(0,-1).
Fazendo a soma componente a componente:
x(1,0)+y(0,-1)=(x,0)+(0,-y)=(x,-y).

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a matriz da transformação na base canônica é exatamente
\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{array}\right],
que envia (x,y) em (x,-y). Por exemplo, T(2,3)=(2,-3), mostrando que a fórmula funciona numericamente.]

Resposta

T(x,y)=(x,-y)

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