Se B=\{(1,1),(0,1)\}, B^{\prime}=\{(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)\} e [T]_{B^{\prime}}^{B} é a matriz
\left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\\\ -1 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right],
determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá:
B=\{(1,1),(0,1)\},
B'=\{(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)\},
e a matriz da transformação linear relativa às bases B (domínio) e B' (contradomínio):
[T]_{B'}^{B}=\begin{pmatrix} 0 & -2\\\\ -1 & 0\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
O que se pede: determinar explicitamente a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 em coordenadas padrão (ou seja, dar T(x_1,x_2) para um vetor genérico (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2).

Passo 2

Interpretação da matriz [T]_{B'}^{B}: cada coluna dessa matriz é o vetor de coordenadas de T aplicado ao elemento correspondente de B, expresso na base B'.
Logo:
  • a primeira coluna \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} é [T((1,1))]_{B'};
  • a segunda coluna \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} é [T((0,1))]_{B'}.
Isto significa que T((1,1)) e T((0,1)) são combinações lineares dos vetores de B' com esses coeficientes.

Passo 3

Escrever os vetores de B' explicitamente:
v_1=(0,3,0),\quad v_2=(-1,0,0),\quad v_3=(0,1,1).
Calcular T((1,1)) a partir das coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}:
T((1,1))=0\cdot v_1+(-1)\cdot v_2+(-1)\cdot v_3.
Fazendo as multiplicações:
0\cdot v_1=(0,0,0),\quad (-1)\cdot v_2=(1,0,0),\quad (-1)\cdot v_3=(0,-1,-1).
Somando:
T((1,1))=(1,0,0)+(0,-1,-1)=(1,-1,-1).
Calcular T((0,1)) a partir das coordenadas \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}:
T((0,1))=-2\cdot v_1+0\cdot v_2+3\cdot v_3.
Fazendo as multiplicações:
-2\cdot v_1=(0,-6,0),\quad 0\cdot v_2=(0,0,0),\quad 3\cdot v_3=(0,3,3).
Somando:
T((0,1))=(0,-6,0)+(0,3,3)=(0,-3,3).

Passo 4

Queremos T para um vetor genérico (x_1,x_2) em coordenadas padrão. Primeiro escrevemos (x_1,x_2) como combinação da base B:
procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,1)+\beta(0,1)=(x_1,x_2).
Isto dá o sistema (componente a componente):
\alpha = x_1,\qquad \alpha+\beta = x_2.
Logo
\alpha = x_1,\qquad \beta = x_2-x_1.

Passo 5

Usando linearidade:
T((x_1,x_2))=\alpha\,T((1,1))+\beta\,T((0,1)).
Substituindo \alpha=x_1, \beta=x_2-x_1 e os resultados do Passo 3:
T((x_1,x_2))=x_1(1,-1,-1)+(x_2-x_1)(0,-3,3).
Calculando componente a componente:
Primeira componente:
x_1\cdot 1 + (x_2-x_1)\cdot 0 = x_1.
Segunda componente:
x_1\cdot(-1) + (x_2-x_1)\cdot(-3) = -x_1 -3x_2 +3x_1 = 2x_1 - 3x_2.
Terceira componente:
x_1\cdot(-1) + (x_2-x_1)\cdot 3 = -x_1 +3x_2 -3x_1 = -4x_1 + 3x_2.
Portanto
T((x_1,x_2))=\bigl(x_1,\;2x_1-3x_2,\;-4x_1+3x_2\bigr).

Passo 6

Opcionalmente, escrevendo T como matriz na base canônica (colunas são T(1,0) e T(0,1)):
[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 2 & -3\\\\ -4 & 3 \end{pmatrix},
o que confere com a fórmula obtida para T((x_1,x_2)).

Resposta

T((x_1,x_2))=\bigl(x_1,\;2x_1-3x_2,\;-4x_1+3x_2\bigr)

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