O que se pede: determinar explicitamente a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 em coordenadas padrão (ou seja, dar T(x_1,x_2) para um vetor genérico (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2).
Passo 2
Interpretação da matriz [T]_{B'}^{B}: cada coluna dessa matriz é o vetor de coordenadas de T aplicado ao elemento correspondente de B, expresso na base B'.
Logo:
a primeira coluna \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} é [T((1,1))]_{B'};
a segunda coluna \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} é [T((0,1))]_{B'}.
Isto significa que T((1,1)) e T((0,1)) são combinações lineares dos vetores de B' com esses coeficientes.
Passo 3
Escrever os vetores de B' explicitamente:
v_1=(0,3,0),\quad v_2=(-1,0,0),\quad v_3=(0,1,1).
Calcular T((1,1)) a partir das coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}:
Queremos T para um vetor genérico (x_1,x_2) em coordenadas padrão. Primeiro escrevemos (x_1,x_2) como combinação da base B:
procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,1)+\beta(0,1)=(x_1,x_2).
Isto dá o sistema (componente a componente):
\alpha = x_1,\qquad \alpha+\beta = x_2.
Logo
\alpha = x_1,\qquad \beta = x_2-x_1.
Passo 5
Usando linearidade:
T((x_1,x_2))=\alpha\,T((1,1))+\beta\,T((0,1)).
Substituindo \alpha=x_1, \beta=x_2-x_1 e os resultados do Passo 3: