Sejam F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} e G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} as transformações lineares dadas por F(x, y)= x+2 y e G(x)=2 x. Determine G \circ F e verifique se a composta é injetora.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede duas coisas:
  • Determinar a composta G\circ F.
  • Verificar se a composta é injetora.
Informações fornecidas:
  • F: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por F(x,y)=x+2y.
  • G: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por G(x)=2x.

Passo 2

O que é a composta G\circ F? Por definição, para qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2,
(G\circ F)(x,y)=G\bigl(F(x,y)\bigr).
Ou seja, primeiro aplico F a (x,y) e depois aplico G ao resultado. Isso é tudo que “composta” significa — aplicar uma transformação depois da outra.

Passo 3

Calculemos passo a passo F(x,y) (já dado) e depois G desse resultado:
F(x,y)=x+2y.
Agora aplico G a esse número:
G\bigl(F(x,y)\bigr)=G(x+2y)=2\cdot (x+2y).

Passo 4

Simplificando a expressão obtemos a fórmula final da composta:
(G\circ F)(x,y)=2(x+2y)=2x+4y.
Portanto a composta é a forma linear que envia (x,y) em 2x+4y.

Passo 5

Agora vamos verificar injetividade. Primeiro, o que significa “injetora”? Uma transformação T é injetora quando entradas diferentes produzem saídas diferentes; formalmente, T(u)=T(v) implica u=v. Para transformações lineares, é muito prático usar o núcleo (kernel): \ker(T)=\{v\mid T(v)=0\}. Uma propriedade útil: uma transformação linear é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0\}. Vou usar isso porque resolve a questão de forma direta.

Passo 6

Calcule o núcleo de G\circ F. Precisamos resolver
(G\circ F)(x,y)=0.
Usando a expressão que achamos,
2x+4y=0.
Dividindo ambos os lados por 2 (operação válida),
x+2y=0.
Isso é uma equação linear com infinitas soluções: podemos parametrizar por t\in\mathbb{R},
x=-2t,\qquad y=t.
Logo
\ker(G\circ F)=\{(-2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\},
que contém vetores não nulos (por exemplo, para t=1 temos (-2,1)\neq(0,0)).

Passo 7

Como \ker(G\circ F) não é apenas o vetor nulo, concluímos que G\circ F não é injetora. Para ficar mais concreto, dou um contraexemplo explícito: (0,0) e (-2,1) são vetores distintos e
(G\circ F)(0,0)=2\cdot 0+4\cdot 0=0,
(G\circ F)(-2,1)=2\cdot(-2)+4\cdot 1=-4+4=0.
Portanto dois pontos distintos têm a mesma imagem, o que mostra a falta de injetividade.

Resposta

(G\circ F)(x,y)=2x+4y.
Não é injetora.

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