Sejam
e
as transformações lineares dadas por
e
. Determine
e verifique se a composta é injetora.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares e pede duas coisas:
- Determinar a composta
. - Verificar se a composta é injetora.
Informações fornecidas:
-
definida por . -
definida por .
Passo 2
O que é a composta
? Por definição, para qualquer vetor
,
Ou seja, primeiro aplico
a
e depois aplico
ao resultado. Isso é tudo que “composta” significa — aplicar uma transformação depois da outra.
Passo 3
Calculemos passo a passo
(já dado) e depois
desse resultado:
Agora aplico
a esse número:
Passo 4
Simplificando a expressão obtemos a fórmula final da composta:
Portanto a composta é a forma linear que envia
em
.
Passo 5
Agora vamos verificar injetividade. Primeiro, o que significa “injetora”? Uma transformação
é injetora quando entradas diferentes produzem saídas diferentes; formalmente,
implica
. Para transformações lineares, é muito prático usar o núcleo (kernel):
. Uma propriedade útil: uma transformação linear é injetora se, e somente se,
. Vou usar isso porque resolve a questão de forma direta.
Passo 6
Calcule o núcleo de
. Precisamos resolver
Usando a expressão que achamos,
Dividindo ambos os lados por
(operação válida),
Isso é uma equação linear com infinitas soluções: podemos parametrizar por
,
Logo
que contém vetores não nulos (por exemplo, para
temos
).
Passo 7
Como
não é apenas o vetor nulo, concluímos que
não é injetora. Para ficar mais concreto, dou um contraexemplo explícito:
e
são vetores distintos e
Portanto dois pontos distintos têm a mesma imagem, o que mostra a falta de injetividade.
Resposta
Não é injetora.