4.2 Em primeira aproximação, a prata tem banda 5 s parabólica. Calcule seu nível de Fermi, EF, em eV, considerando que a massa dos elétrons livres é igual à massa de elétron no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o nível de Fermi, $ E_F $, da prata considerando que os elétrons se comportam como elétrons livres com uma banda 5s parabólica. Isso envolve conceitos de física do estado sólido, especificamente o modelo de elétrons livres. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a densidade de elétrons na prata e usar a fórmula do nível de Fermi para um gás de elétrons livres.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a densidade de elétrons ($ n $) na prata. A prata tem estrutura cristalina cúbica de faces centradas (cfc) e possui 1 elétron de condução por átomo. Sabemos que na estrutura cfc há 4 átomos por célula unitária.
Para calcular $ n $, usamos a seguinte fórmula:
n
Onde:
  • $ N_A $ é o número de Avogadro ($ 6,022 \times 10^{23} , mol^{-1} $)
  • $ Z $ é o número de elétrons de condução por átomo (no caso, 1)
  • $ V_c $ é o volume da célula unitária
A densidade da prata ($ \rho $) é aproximadamente $ 10,49 , g/cm^3 $ e sua massa molar ($ M $) é $ 107,87 , g/mol n áéá a $) para a prata é cerca de $ 4,09 \times 10^{-8} , cm $.
Calculamos o volume da célula unitária:
n = NA times ZVc
Agora, substituímos os valores na fórmula de $ n $:
NA é

Passo 3

Com a densidade de elétrons em mãos, podemos agora calcular o nível de Fermi usando a fórmula para um gás de elétrons livres:
EF = hbar^22m ( 3pi^2 n )^23
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ 1,054 \times 10^{-34} , J·s $)
  • $ m $ é a massa do elétron ($ 9,109 \times 10^{-31} , kg $)
  • $ n $ é a densidade de elétrons que calculamos

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula de $ E_F $:
Primeiro, calculamos $ \left( 3\pi^2 n \right)^{\frac{2}{3}} $:
EF
( 3pi^2 n )^23
Agora, calculamos $ \frac{\hbar^2}{2m} $:
3pi^2 n = 3 times pi^2 times 8,81 times 10^28 approx 2,61 times 10^30
Multiplicando os dois resultados:
( 2,61 times 10^30 )^23 approx 1,29 times 10^20
Para converter joules em eletr volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):
hbar^22m

Resposta

O nível de Fermi da prata, considerando uma banda 5s parabólica e massa de elétron livre igual à massa do elétron no vácuo, é aproximadamente $ E_F = 4,91 , eV $.

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