1. Primeira fórmula de Green Suponha que f e g sejam funções escalares com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em uma região D delimitada por uma superfície lisa por partes e fechada S. Mostre que
\iint_{S} f \nabla g \cdot \mathbf{n} d \sigma=\iiint_{D}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\right) d V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a primeira identidade de Green que afirma, para funções escalares f e g com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas numa região D com fronteira lisa por partes S,
\iint_{S} f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \iiint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g+\nabla f\cdot\nabla g\bigr)\,dV.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).

Passo 2

Reconhecemos o integrando da superfície como o fluxo do campo vetorial
\mathbf{F}=f\,\nabla g
através de S, pois
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = f\,\bigl(\nabla g\cdot\mathbf{n}\bigr).
Pelo Teorema da Divergência, temos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Logo,
\iint_{S}f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \iiint_{D}\nabla\cdot\bigl(f\,\nabla g\bigr)\,dV.

Passo 3

Agora calculamos a divergência de \mathbf{F}=f\,\nabla g. Usando a regra do produto para divergência:
\nabla\cdot\bigl(f\,\nabla g\bigr) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\bigl(\nabla\cdot\nabla g\bigr).
Como \nabla\cdot\nabla g=\nabla^2 g, temos
\nabla\cdot\bigl(f\,\nabla g\bigr) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2}g.

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral de volume obtida no Passo 2, concluímos
\iint_{S}f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \iiint_{D}\bigl(\nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2}g\bigr)\,dV.

Resposta

\iint_{S} f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \iiint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g+\nabla f\cdot\nabla g\bigr)\,dV.

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