Exercícios 16.5
Encontrando parametrizações
Nos Exercícios 1-16, encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
- O paraboloide
.
- O paraboloide
.
- Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone
entre os planos
e
.
- Tronco de cone A porção do cone
entre os planos
e
.
- Calota esférica A calota cortada da esfera
pelo cone
.
- Calota esférica A porção da esfera
no primeiro octante entre o plano
e o cone
.
Passo 1
Estamos vendo parametrizações de superfícies em
. A ideia geral é usar coordenadas cilíndricas
sempre que a superfície seja dada em termos de
, e usar coordenadas esféricas
quando houver esfera e cone juntos. Nos paraboloides e troncos de cone, vamos escrever
escolhendo
e
no intervalo que descreve toda a região. Nas calotas esféricas, usaremos
com
fixo (raio da esfera) e
variando conforme a parte da esfera que precisamos.
Passo 2
Paraboloides 1 e 2.
-
, . Em cilíndricas e , .
Parametrização:
-
, . Em cilíndricas .
Parametrização:
Passo 3
Troncos de cone 3 e 4.
3) No 1º octante do cone entre
e
. Em cilíndricas
. Para
temos
. Tomamos parâmetros
e
.
Parametrização:
3) No 1º octante do cone
Parametrização:
- Porção do cone
entre e . Em cilíndricas , então . Tomamos e .
Parametrização:
Passo 4
Calota esférica 5.
Superfície da esfera cortada pelo cone
. O cone equivale a
. Fica a calota para
,
, com
.
Parametrização:
Superfície da esfera
Parametrização:
Passo 5
Calota esférica 6.
Porção da esfera no 1º octante, entre o plano
e o cone
. Aqui
,
. O cone dá
, e o plano
dá
.
Parametrização:
Porção da esfera
Parametrização:
Resposta
-
. -
. -
. -
. -
. -
.