Exercícios 16.5

Encontrando parametrizações

Nos Exercícios 1-16, encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
  1. O paraboloide z=x^{2}+y^{2}, z \leq 4.
  2. O paraboloide z=9-x^{2}-y^{2}, z \geq 0.
  3. Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2 entre os planos z=0 e z=3.
  4. Tronco de cone A porção do cone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=2 e z=4.
  5. Calota esférica A calota cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  6. Calota esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante entre o plano x y e o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

Estamos vendo parametrizações de superfícies em \mathbb{R}^3. A ideia geral é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta) sempre que a superfície seja dada em termos de x^2+y^2, e usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) quando houver esfera e cone juntos. Nos paraboloides e troncos de cone, vamos escrever
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
escolhendo r e \theta no intervalo que descreve toda a região. Nas calotas esféricas, usaremos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho fixo (raio da esfera) e \varphi,\theta variando conforme a parte da esfera que precisamos.

Passo 2

Paraboloides 1 e 2.
  1. z=x^{2}+y^{2}, z\le4. Em cilíndricas z=r^{2} e r^{2}\le4\implies0\le r\le2, \theta\in[0,2\pi].
    Parametrização:
\mathbf{r}_1(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\bigr), \quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le2\pi.
  1. z=9-x^{2}-y^{2}, z\ge0. Em cilíndricas z=9-r^{2}\ge0\implies0\le r\le3.
    Parametrização:
\mathbf{r}_2(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;9-r^{2}\bigr), \quad 0\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Troncos de cone 3 e 4.
3) No 1º octante do cone z=\tfrac12\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre z=0 e z=3. Em cilíndricas z=\tfrac12r. Para 0\le z\le3 temos r=2z. Tomamos parâmetros u=z\in[0,3] e \theta\in[0,\tfrac\pi2].
Parametrização:
\mathbf{r}_3(u,\theta)=\bigl(2u\cos\theta,\;2u\sin\theta,\;u\bigr), \quad 0\le u\le3,\;0\le\theta\le\tfrac\pi2.
  1. Porção do cone z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre z=2 e z=4. Em cilíndricas z=2r, então r=\tfrac z2. Tomamos u=z\in[2,4] e \theta\in[0,2\pi].
    Parametrização:
\mathbf{r}_4(u,\theta)=\Bigl(\tfrac u2\cos\theta,\;\tfrac u2\sin\theta,\;u\Bigr), \quad 2\le u\le4,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

Calota esférica 5.
Superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 cortada pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O cone equivale a \varphi=\tfrac\pi4. Fica a calota para \varphi\in[0,\tfrac\pi4], \theta\in[0,2\pi], com \rho=3.
Parametrização:
\mathbf{r}_5(\varphi,\theta)=\bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\varphi\le\tfrac\pi4,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 5

Calota esférica 6.
Porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no 1º octante, entre o plano xy z=0 e o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui \rho=2, \theta\in[0,\tfrac\pi2]. O cone dá \varphi=\tfrac\pi4, e o plano z=0 \varphi=\tfrac\pi2.
Parametrização:
\mathbf{r}_6(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr), \quad \tfrac\pi4\le\varphi\le\tfrac\pi2,\;0\le\theta\le\tfrac\pi2.

Resposta

  1. \mathbf{r}_1(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,r^{2}),\;0\le r\le2,\;0\le\theta\le2\pi.
  2. \mathbf{r}_2(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,9-r^{2}),\;0\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.
  3. \mathbf{r}_3(u,\theta)=(2u\cos\theta,2u\sin\theta,u),\;0\le u\le3,\;0\le\theta\le\pi/2.
  4. \mathbf{r}_4(u,\theta)=(\tfrac u2\cos\theta,\tfrac u2\sin\theta,u),\;2\le u\le4,\;0\le\theta\le2\pi.
  5. \mathbf{r}_5(\varphi,\theta)=(3\sin\varphi\cos\theta,3\sin\varphi\sin\theta,3\cos\varphi),\;0\le\varphi\le\pi/4,\;0\le\theta\le2\pi.
  6. \mathbf{r}_6(\varphi,\theta)=(2\sin\varphi\cos\theta,2\sin\varphi\sin\theta,2\cos\varphi),\;\pi/4\le\varphi\le\pi/2,\;0\le\theta\le\pi/2.

Exercícios relacionados