PRIMEIRA QUESTÃO (VALOR = 4,0 PONTOS)

Um canal de terra bem compactada, será utilizado para irrigar uma lavoura de arroz, com água proveniente de um açude. O fundo do canal na chegada da lavoura deverá estar na cota 28,9 \mathrm{~m}, sendo que, neste ponto, a superficie livre da água deverá estar na cota 29,2 \mathrm{~m}. Na saida do açude, o fundo do canal deve estar na cota 31,0 \mathrm{~m}. A distância em linha reta, do açude à lavoura é de 420 m . Dimensione o canal, sabendo que as vazões deverão variar entre 590 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e 970 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Faça um croqui da seção transversal do canal, mostrando todas as dimensōes.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não nos perder):
  • Cota do fundo do canal na chegada da lavoura: \;28,9\\ \mathrm{m}.
  • Cota da superfície livre da água nesse ponto (lavoura): \;29,2\\ \mathrm{m}.
  • Cota do fundo do canal na saída do açude: \;31,0\\ \mathrm{m}.
  • Distância em linha reta entre o açude e a lavoura: \;420\\ \mathrm{m}.
  • Vazões de projeto, variando entre \;590\\ \mathrm{L/s} e \;970\\ \mathrm{L/s}.
Pergunta (o que o problema pede): dimensionar o canal (ou seja, determinar a seção transversal que permita conduzir as vazões dadas ao longo do declive determinado pelas cotas) e fazer um croqui da seção transversal com todas as dimensões.
Informações deduzidas/imediatas do enunciado (relevantes para a solução):
  • A queda total do fundo do canal entre açude e lavoura é \;31,0-28,9=2,1\\ \mathrm{m}.
  • O declive (inclinação) do fundo do canal é \;S=\dfrac{2,1}{420}.
  • A profundidade da água na chegada (lavoura) é a diferença entre superfície livre e fundo: \;29,2-28,9=0,3\\ \mathrm{m}.
  • As vazões serão trabalhadas em \mathrm{m^3/s} (conversão necessária de \mathrm{L/s} para \mathrm{m^3/s}).

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (explicando o porquê, passo a passo, sem pular etapas):
  1. Método escolhido: uso da fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal aberto. Por que? Porque é o método padrão, simples e suficiente para dimensionar seções de canais de irrigação quando conhecemos a declividade do fundo e procuramos a seção que transporte uma dada vazão. É também o método mais básico e indicado para provas de hidráulica de canais.
  2. Geometria escolhida: seção trapezoidal (fundo horizontal de largura b e taludes laterais de razão m:1 — isto é, m unidades na horizontal para cada unidade na vertical). Por que? Porque é a forma mais comum em canais de terra e permite expressão simples para área e perímetro molhado. Vou escolher um talude típico: m=1{,}5 (isto é, 1,5 unidades horizontais para 1 vertical). Esse valor é usual para canais de terra bem compactados e dá estabilidade suficiente.
  3. Coeficiente de rugosidade de Manning: vou adotar n=0{,}022. Por que? Para solo bem compactado e canal de terra, n costuma ficar entre 0{,}018 e 0{,}025. Escolhi 0{,}022 como valor intermediário e plausível em projetos universitários.
  4. Fórmulas fundamentais (vou ensinar cada símbolo):
    • Fórmula de Manning (escoamento uniforme): Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},onde Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}), n é o coeficiente de rugosidade (adimensional), A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}), R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), e S é a declividade do fundo (adimensional).
    • Para seção trapezoidal com profundidade de água y, largura de fundo b e taludes m: A = b\,y + m\,y^2,
P = b + 2\,y\sqrt{1+m^2},
R=\dfrac{A}{P},
 onde \(P\) é o perímetro molhado.  
Vou usar essas fórmulas para determinar b de modo que, com a profundidade imposta pelo enunciado na chegada ( y=0{,}30\\ \mathrm{m}), o canal suporte a vazão máxima Q_{\max}=970\\ \mathrm{L/s}.

Passo 3

Cálculo da declividade do fundo S (mostrando contas):
Queda total \Delta h = 31{,}0 - 28{,}9 = 2{,}1\\ \mathrm{m}.
Distância L=420\\ \mathrm{m}.
Logo
S=\dfrac{\Delta h}{L}=\dfrac{2{,}1}{420}=0{,}005.

Passo 4

Conversão das vazões e definição do critério de projeto:
  • Converter \mathrm{L/s} para \mathrm{m^3/s}: \;590\\ \mathrm{L/s}=0{,}590\\ \mathrm{m^3/s} e \;970\\ \mathrm{L/s}=0{,}970\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O enunciado fixou a cota da superfície livre na chegada (lavoura) em \;29{,}2\\ \mathrm{m} e o fundo ali em \;28{,}9\\ \mathrm{m}, logo a profundidade de água na chegada é \;y=0{,}30\\ \mathrm{m}. Esse valor de profundidade é obrigatório naquele ponto; por isso vamos dimensionar a largura do fundo b de modo que, com y=0{,}30\\ \mathrm{m}, o canal transporte Q_{\max}=0{,}970\\ \mathrm{m^3/s}. Esse é um critério lógico: projetar para a vazão máxima com a profundidade imposta.

Passo 5

Escrever a equação de projeto com os valores escolhidos (substituindo os símbolos por números e mantendo explicação):
  • m=1{,}5.
  • n=0{,}022.
  • S=0{,}005.
  • y=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    Seção: \;A = b\,y + m\,y^2 = 0{,}3\,b + 1{,}5\cdot(0{,}3)^2 = 0{,}3b + 0{,}135.
    Perímetro molhado: \;P = b + 2y\sqrt{1+m^2} = b + 0{,}6\sqrt{1+1{,}5^2} = b + 0{,}6\sqrt{3{,}25}. Calcule \sqrt{3{,}25}\approx 1{,}802, então P\approx b + 1{,}0812.
    Raio hidráulico: \;R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{0{,}3b+0{,}135}{b+1{,}0812}.
    Manning: \;Q=\dfrac{1}{n}A R^{2/3} S^{1/2}. Substituindo n e S:
Q=\dfrac{1}{0{,}022}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{0{,}005}.
Calculei \dfrac{1}{0{,}022}\sqrt{0{,}005}\approx 3{,}2132 (produto numérico), portanto a equação simplificada é
Q \approx 3{,}2132\;A\;R^{2/3}.
Para Q=0{,}970\\ \mathrm{m^3/s} temos a equação implícita em b:
0{,}970 \approx 3{,}2132\;A(b)\;[R(b)]^{2/3}.

Passo 6

Resolução numérica da equação para encontrar b (vou mostrar tentativas e a convergência, passo a passo):
Definimos a função
F(b)=A(b)\,[R(b)]^{2/3} =(0{,}3b+0{,}135)\left(\dfrac{0{,}3b+0{,}135}{b+1{,}0812}\right)^{2/3}.
Do item anterior queremos A R^{2/3}=\dfrac{0{,}970}{3{,}2132}\approx 0{,}3018.
Agora tentativas:
  • Para b=1{,}0\\ \mathrm{m}: A=0{,}435, P\approx 2{,}0812, R\approx 0{,}2092, R^{2/3}\approx 0{,}3526. Então A R^{2/3}\approx 0{,}1534 (muito abaixo de 0{,}3018).
  • Para b=2{,}0\\ \mathrm{m}: A=0{,}735, P\approx 3{,}0812, R\approx 0{,}2385, R^{2/3}\approx 0{,}3852. Então A R^{2/3}\approx 0{,}2832 (ainda um pouco abaixo).
  • Para b=3{,}0\\ \mathrm{m}: A=1{,}035, P\approx 4{,}0812, R\approx 0{,}2537, R^{2/3}\approx 0{,}4006. Então A R^{2/3}\approx 0{,}4146 (agora acima do necessário).
Assim a solução está entre b=2{,}0 e b=3{,}0. Afinando:
  • Para b=2{,}10\\ \mathrm{m}: A=0{,}3\cdot2{,}10+0{,}135=0{,}765. P=2{,}10+1{,}0812=3{,}1812. R=0{,}2404. R^{2/3}\approx 0{,}3873. Logo A R^{2/3}\approx 0{,}2965 (ainda ligeiramente abaixo de 0{,}3018).
  • Para b=2{,}13\\ \mathrm{m}: A=0{,}774. P\approx 3{,}2112. R\approx 0{,}2409. R^{2/3}\approx 0{,}3879. A R^{2/3}\approx 0{,}3002 (muito perto).
  • Para b=2{,}15\\ \mathrm{m}: A=0{,}780. P\approx 3{,}2312. R\approx 0{,}2414. R^{2/3}\approx 0{,}3884. A R^{2/3}\approx 0{,}3029 (ligeiramente acima).
Interpolando entre b=2{,}13 e b=2{,}15 chega-se a b\approx 2{,}142\\ \mathrm{m}. Arredondando convenientemente para projeto prático, adoto
\boxed{b = 2{,}14\\ \mathrm{m}.}

Passo 7

Cálculos finais da seção projetada e verificação (mostrando todas as contas finais e verificando Q, velocidades etc.):
Com b=2{,}14\\ \mathrm{m}, y=0{,}30\\ \mathrm{m} e m=1{,}5:
  • Área: A = 0{,}3\cdot 2{,}14 + 0{,}135 = 0{,}642 + 0{,}135 = 0{,}777\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado: P = 2{,}14 + 1{,}0812 \approx 3{,}2212\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico: R=\dfrac{A}{P} \approx \dfrac{0{,}777}{3{,}2212}\approx 0{,}2413\\ \mathrm{m}.
  • Verificação da vazão via Manning: Q=\dfrac{1}{0{,}022}\cdot 0{,}777\cdot (0{,}2413)^{2/3}\cdot \sqrt{0{,}005}\approx 0{,}97\\ \mathrm{m^3/s},ou seja, 970\\ \mathrm{L/s} — atende exatamente Q_{\max} como desejado. (Essa é a checagem que garante que nosso b projetado está correto.)
  • Velocidades: V_{\max}=\dfrac{Q_{\max}}{A}=\dfrac{0{,}970}{0{,}777}\approx 1{,}25\\ \mathrm{m/s}.Para a vazão mínima Q_{\min}=0{,}590\\ \mathrm{m^3/s}, com a mesma seção e assumindo escoamento com menor lâmina, a velocidade mínima na mesma seção (se mantivermos a lâmina y=0{,}30; na prática a lâmina cairia) seria V_{\min}=\dfrac{0{,}590}{0{,}777}\approx 0{,}76\\ \mathrm{m/s}.Observação: em operação real, para Q_{\min} a lâmina de água provavelmente será menor que 0{,}30\\ \mathrm{m} (a menos que se regule a cota da superfície a montante); aqui calculei a velocidade mínima hipotética mantendo a lâmina de projeto para referência.

Passo 8

Croqui da seção transversal e dimensões finais (descrição clara e todas as dimensões):
Vou descrever o croqui (um desenho esquemático em palavras com todas as medidas que você pode reproduzir facilmente): seção trapezoidal simétrica com:
  • largura de fundo \;b=2{,}14\\ \mathrm{m}.
  • profundidade de água (lâmina) \;y=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • taludes laterais \;m=1{,}5 (ou seja, cada talude avança 1{,}5 m horizontal para cada 1 m vertical). Para y=0{,}30 m, a largura adicional em cada lado é m y = 1{,}5\times 0{,}30 = 0{,}45\\ \mathrm{m}.
  • largura do espelho d’água no topo (largura na superfície): B = b + 2 m y = 2{,}14 + 2\cdot 0{,}45 = 2{,}14 + 0{,}90 = 3{,}04\\ \mathrm{m}.
  • área da seção molhada \;A\approx 0{,}78\\ \mathrm{m^2}.
  • perímetro molhado \;P\approx 3{,}22\\ \mathrm{m}.
  • velocidade de projeto (para Q_{\max}): \;V\approx 1{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Sugestão prática (opcional, útil em prova): deixar um pequeno escorregamento/folga de talude ou um bordo livre (freeboard) acima da superfície de projeto — por exemplo 0{,}10 a 0{,}20\\ \mathrm{m} — para evitar transbordamento em variações, mas como enunciado fixou a superfície, isso é uma recomendação extra e não parte do cálculo obrigatório.

Resposta

b=2{,}14\\ \mathrm{m} (largura do fundo)
y=0{,}30\\ \mathrm{m} (profundidade de projeto na chegada da lavoura)
m=1{,}5 (talude lateral, horizontal:vertical)
B=b+2my=3{,}04\\ \mathrm{m} (largura no topo da lâmina)
A\approx 0{,}78\\ \mathrm{m^2} (área da seção molhada)
P\approx 3{,}22\\ \mathrm{m} (perímetro molhado)
R\approx 0{,}241\\ \mathrm{m} (raio hidráulico)
S=0{,}005 (declividade do fundo)
n=0{,}022 (coeficiente de Manning adotado)
V_{\text{(para }Q_{\max}=970\\ \mathrm{L/s})}\approx 1{,}25\\ \mathrm{m/s}

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