Uma empresa de recursos humanos está investigando a diferença média de horas extras trabalhadas entre funcionários de dois departamentos para entender a carga de trabalho em cada setor. No Departamento X, uma amostra de 16 funcionários mostra uma média de 5 horas extras por semana, com um desvio padrão de 1,5 horas. No Departamento Y, uma amostra de 21 funcionários apresenta uma média de 6,5 horas extras por semana, com um desvio padrão de 2 horas. Verifique se as variâncias são iguais. Com base nisso, verifique se há uma diferença significativa nas médias de horas extras entre os departamentos? ( \alpha=5 \% ; F_{\text {tab1 }}=0,363 e F_{\text {tab2 }}=2,573 ; t_{\text {tab }}=2,03 )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas verificações. Vou listar tudo direitinho para não nos perdermos:
  • Amostra do Departamento X: n_X=16, média \overline{x}_X=5 horas, desvio padrão s_X=1,5 horas.
  • Amostra do Departamento Y: n_Y=21, média \overline{x}_Y=6,5 horas, desvio padrão s_Y=2 horas.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
  • Valores críticos fornecidos para o teste de variâncias: F_{\text{tab1}}=0,363 e F_{\text{tab2}}=2,573.
  • Valor crítico fornecido para o teste t: t_{\text{tab}}=2,03.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Verificar se as variâncias dos dois departamentos podem ser consideradas iguais (teste de igualdade de variâncias).
  2. Com base nisso, verificar se há diferença significativa entre as médias de horas extras dos departamentos (teste para diferença de médias).
Agora que sabemos o que é pedido e quais dados temos, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo e formulando o teste de variâncias (F de Fisher) — explicação didática:
  • Queremos testar H_0:\\ \sigma_X^2=\sigma_Y^2contra H_1:\\ \sigma_X^2\neq\sigma_Y^2.
  • O teste F compara as variâncias amostrais por meio da razão entre uma variância amostral e a outra. Uma forma padrão (quando se usa as F_{\text{tab1}} e F_{\text{tab2}} fornecidas) é calcular F=\frac{s_X^2}{s_Y^2},associando graus de liberdade \nu_1=n_X-1 no numerador e \nu_2=n_Y-1 no denominador (a convenção aqui segue a ordem X sobre Y porque as tabelas fornecidas parecem estar nessa ordem).
  • O critério de decisão (dois lados) é: rejeitar H_0 se F < F_{\text{tab1}}\quad\text{ou}\quad F > F_{\text{tab2}}.Caso contrário (se F_{\text{tab1}}\le F\le F_{\text{tab2}}) não rejeitamos H_0 e então consideramos as variâncias compatíveis (iguais) ao nível \alpha.

Passo 3

Calcular F com os dados e comparar — passo a passo numérico:
  • Primeiro calcule as variâncias amostrais (quadrado dos desvios padrão): s_X^2 = 1,5^2 = 2,25,
s_Y^2 = 2^2 = 4.
  • Calcule a razão conforme adotado: F=\frac{s_X^2}{s_Y^2}=\frac{2,25}{4}=0,5625.
  • Graus de liberdade: \nu_1=n_X-1=15 e \nu_2=n_Y-1=20.
  • Compare com os críticos fornecidos: F_{\text{tab1}}=0,363 e F_{\text{tab2}}=2,573.
    Observamos que 0,363 < 0,5625 < 2,573.
  • Conclusão do teste de variâncias: não rejeitamos H_0. Ou seja, ao nível \alpha=5\% as amostras não fornecem evidência suficiente de que as variâncias sejam diferentes — podemos assumir variâncias iguais para a próxima etapa.
(Dica rápida: outra abordagem é sempre colocar a maior variância no numerador para obter F\ge1 e comparar apenas com o crítico superior; aqui segui a convenção compatível com os F_{\text{tab}} que você forneceu.)

Passo 4

Preparando o teste das médias com variâncias iguais — explicação didática:
  • Já que aceitamos a hipótese de variâncias iguais, usamos o teste t de duas amostras com variância combinada (pooled). As hipóteses são H_0:\\ \mu_X=\mu_Y
H_1:\\ \mu_X\neq\mu_Y
(teste bilateral).
  • A estatística de teste é t=\frac{\overline{x}_X-\overline{x}_Y}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}}},onde s_p^2 é a variância agrupada (pooled) dada por s_p^2=\frac{(n_X-1)s_X^2+(n_Y-1)s_Y^2}{n_X+n_Y-2}.
  • Explico as letras: \overline{x}_X e \overline{x}_Y são as médias amostrais; s_X^2 e s_Y^2 são as variâncias amostrais; n_X e n_Y são os tamanhos das amostras; s_p é a estimativa comum do desvio padrão populacional quando assumimos variâncias iguais.

Passo 5

Cálculo da variância agrupada e do erro padrão — passo a passo numérico:
  • Calcule s_p^2: s_p^2=\frac{(n_X-1)s_X^2+(n_Y-1)s_Y^2}{n_X+n_Y-2} =\frac{15\cdot 2,25 + 20\cdot 4}{16+21-2}.Agora os produtos: 15\cdot 2,25 = 33,75,\qquad 20\cdot 4 = 80.Soma: 33,75+80=113,75.
    Dividindo por n_X+n_Y-2=35: s_p^2=\frac{113,75}{35}=3,25.Logo s_p=\sqrt{3,25}\approx 1,802.
  • Calcule o erro padrão da diferença de médias: \text{SE}=s_p\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}} =1,802\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{21}}.Calcule a soma dentro da raiz: \frac{1}{16}=0,0625,\qquad \frac{1}{21}\approx 0,047619,
0,0625+0,047619\approx 0,110119.
Raiz:
\sqrt{0,110119}\approx 0,33186.
Multiplicando:
\text{SE}\approx 1,802\times 0,33186\approx 0,598.

Passo 6

Cálculo da estatística t, comparação e decisão — passo a passo numérico:
  • Compute t: t=\frac{\overline{x}_X-\overline{x}_Y}{\text{SE}}=\frac{5-6,5}{0,598}=\frac{-1,5}{0,598}\approx -2,5075.
  • Valor absoluto: |t|\approx 2,5075.
  • Graus de liberdade usados: n_X+n_Y-2=35. O crítico fornecido é t_{\text{tab}}=2,03 (para \alpha=5\%, bilateral, com 35 g.l., conforme enunciado).
  • Comparação: |t|\approx 2,5075 > t_{\text{tab}}=2,03.
  • Decisão: rejeitamos H_0 ao nível \alpha=5\%. Há evidência estatística de diferença entre as médias.
  • Interpretação prática: como \overline{x}_Y=6,5 é maior que \overline{x}_X=5, concluímos que o Departamento Y apresenta, em média, mais horas extras por semana — a diferença amostral é de 1,5 horas e é estatisticamente significativa ao nível de 5\%.
(Empurrão moral: fizemos tudo com calma e chegamos numa conclusão clara — o Departamento Y parece ter carga de horas extras maior.)

Resposta

As variâncias podem ser consideradas iguais (não rejeita-se H_0 do teste F; F_{\text{obs}}=0,5625 e 0,363<F_{\text{obs}}<2,573).
Há diferença significativa entre as médias ao nível \alpha=5\% (rejeita-se H_0 do teste t; t_{\text{obs}}\approx-2,508, logo o Departamento Y tem média maior: 6,5 vs 5 horas, diferença de 1,5 horas).

Exercícios relacionados