Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades:
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
X
-3
-1
1
3
(b) Calcule a esperança
, a variância
e o desvio padrão
da variável aleatória
.
.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
| X | -3 | -1 | 1 | 3 |
|
|
|
|
|
|
Passo 1
O enunciado dá três moedas independentes com probabilidades de cara:
Define-se a variável aleatória
como a diferença entre o número de caras e o número de coroas ao lançar as três moedas. O exercício pede:
(a) encontrar a função de probabilidade (pmf) de nos pontos
;
(b) calcular a esperança , a variância
e o desvio padrão
.
(a) encontrar a função de probabilidade (pmf) de
(b) calcular a esperança
Passo 2
Uma maneira prática de modelar isso é definir, para cada moeda
Cada
. Como as moedas são independentes, as variáveis
são independentes. A diferença entre número de caras e coroas é simplesmente a soma:
Sejam
o número de caras obtidas. Observamos que
Assim o mapeamento é:
Portanto basta calcular a probabilidade de obter exatamente
caras (com moedas não idênticas).]
Passo 3
Como as moedas são independentes, a probabilidade de um conjunto específico de resultados é o produto das probabilidades correspondentes. Vou usar
para a probabilidade de coroa na moeda
:
- Probabilidade de
(nenhuma cara) — isto é :
- Probabilidade de
(exatamente uma cara) — somamos as três possibilidades (cara na moeda 1, ou na 2, ou na 3):
- Probabilidade de
(exatamente duas caras) — somamos as três combinações de duas caras:
- Probabilidade de
(todas caras) — isto é :
Passo 4
Verificação rápida: somando as probabilidades obtemos
como deve ser.
Passo 5
Agora a esperança
. Usamos linearidade da esperança e calculamos
para cada moeda. Como
vale
com probabilidade
e
com probabilidade
,
Pelo fato de
e pela linearidade da esperança,
Calcule a soma dos
:
Portanto
Passo 6
Agora a variância
. Para variáveis independentes a variância soma:
Calculamos
usando
. Como
sempre,
Então
Calcule cada termo:
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 7
O desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Podemos simplificar
, logo
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)