Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, \frac{1}{3}, \frac{1}{9} e \frac{1}{27}. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades:
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
X -3 -1 1 3
\mathrm{p}(\mathrm{x}) \frac{416}{729} \frac{276}{729} \frac{36}{729} \frac{1}{729}
(b) Calcule a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão \sigma_{X} da variável aleatória X.
E(X)=-\frac{55}{27} ; V(X)=\frac{1040}{729}.

Passo 1

O enunciado dá três moedas independentes com probabilidades de cara:
p_1=\tfrac{1}{3},\qquad p_2=\tfrac{1}{9},\qquad p_3=\tfrac{1}{27}.
Define-se a variável aleatória X como a diferença entre o número de caras e o número de coroas ao lançar as três moedas. O exercício pede:
(a) encontrar a função de probabilidade (pmf) de X nos pontos -3,-1,1,3;
(b) calcular a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão \sigma_X.

Passo 2

Uma maneira prática de modelar isso é definir, para cada moeda i\) (\(i=1,2,3\)), a variável \[Y_i=\begin{cases} +1,&\text{se a moeda }i\text{ der cara},\\[4pt] -1,&\text{se a moeda }i\text{ der coroa}. \end{cases}
Cada Y_i\] toma valores \(\pm1. Como as moedas são independentes, as variáveis Y_1,Y_2,Y_3 são independentes. A diferença entre número de caras e coroas é simplesmente a soma:
X=Y_1+Y_2+Y_3.
Sejam k o número de caras obtidas. Observamos que
X = k - (3-k) = 2k-3.
Assim o mapeamento é:
k=0\mapsto X=-3,\quad k=1\mapsto X=-1,\quad k=2\mapsto X=1,\quad k=3\mapsto X=3.
Portanto basta calcular a probabilidade de obter exatamente k caras (com moedas não idênticas).]

Passo 3

Como as moedas são independentes, a probabilidade de um conjunto específico de resultados é o produto das probabilidades correspondentes. Vou usar q_i=1-p_i para a probabilidade de coroa na moeda i:
q_1=\tfrac{2}{3},\qquad q_2=\tfrac{8}{9},\qquad q_3=\tfrac{26}{27}.
  • Probabilidade de k=0 (nenhuma cara) — isto é X=-3:
P(X=-3)=q_1q_2q_3=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{26}{27}=\tfrac{416}{729}.
  • Probabilidade de k=1 (exatamente uma cara) — somamos as três possibilidades (cara na moeda 1, ou na 2, ou na 3):
\begin{aligned} P(X=-1)&=p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3\\[4pt] &=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{26}{27}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{26}{27}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{1}{27}\\[4pt] &=\tfrac{208}{729}+\tfrac{52}{729}+\tfrac{16}{729}=\tfrac{276}{729}. \end{aligned}
  • Probabilidade de k=2 (exatamente duas caras) — somamos as três combinações de duas caras:
\begin{aligned} P(X=1)&=p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3\\[4pt] &=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{26}{27}+\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{1}{27}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{1}{27}\\[4pt] &=\tfrac{26}{729}+\tfrac{8}{729}+\tfrac{2}{729}=\tfrac{36}{729}. \end{aligned}
  • Probabilidade de k=3 (todas caras) — isto é X=3:
P(X=3)=p_1p_2p_3=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{1}{27}=\tfrac{1}{729}.]

Passo 4

Verificação rápida: somando as probabilidades obtemos
\tfrac{416}{729}+\tfrac{276}{729}+\tfrac{36}{729}+\tfrac{1}{729}=\tfrac{729}{729}=1,
como deve ser.

Passo 5

Agora a esperança E(X). Usamos linearidade da esperança e calculamos E(Y_i) para cada moeda. Como Y_i vale +1 com probabilidade p_i e -1 com probabilidade 1-p_i,
E(Y_i)=1\cdot p_i + (-1)\cdot(1-p_i)=2p_i-1.
Pelo fato de X=Y_1+Y_2+Y_3 e pela linearidade da esperança,
E(X)=\sum_{i=1}^3 E(Y_i)=2\sum_{i=1}^3 p_i -3.
Calcule a soma dos p_i:
\sum_{i=1}^3 p_i=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}=\tfrac{9+3+1}{27}=\tfrac{13}{27}.
Portanto
E(X)=2\cdot\tfrac{13}{27}-3=\tfrac{26}{27}-\tfrac{81}{27}=-\tfrac{55}{27}.

Passo 6

Agora a variância V(X). Para variáveis independentes a variância soma:
V(X)=\sum_{i=1}^3 V(Y_i).
Calculamos V(Y_i) usando V(Y_i)=E(Y_i^2)-[E(Y_i)]^2. Como Y_i^2=1 sempre,
V(Y_i)=1-(2p_i-1)^2=1-(4p_i^2-4p_i+1)=4p_i(1-p_i).
Então
V(X)=4\sum_{i=1}^3 p_i(1-p_i).
Calcule cada termo:
\begin{aligned} p_1(1-p_1)&=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{9}=\tfrac{162}{729},\\[4pt] p_2(1-p_2)&=\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{8}{9}=\tfrac{8}{81}=\tfrac{72}{729},\\[4pt] p_3(1-p_3)&=\tfrac{1}{27}\cdot\tfrac{26}{27}=\tfrac{26}{729}. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^3 p_i(1-p_i)=\tfrac{162+72+26}{729}=\tfrac{260}{729}.
Multiplicando por 4:
V(X)=4\cdot\tfrac{260}{729}=\tfrac{1040}{729}.]

Passo 7

O desvio padrão \sigma_X é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\tfrac{1040}{729}}=\tfrac{\sqrt{1040}}{27}.
Podemos simplificar \sqrt{1040}=\sqrt{16\cdot 65}=4\sqrt{65}, logo
\sigma_X=\tfrac{4\sqrt{65}}{27}.

Resposta

(a) P(X=-3)=\tfrac{416}{729},\quad P(X=-1)=\tfrac{276}{729},\quad P(X=1)=\tfrac{36}{729},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{729}.\n
(b) E(X)=-\tfrac{55}{27},\quad V(X)=\tfrac{1040}{729},\quad \sigma_X=\tfrac{4\sqrt{65}}{27}.

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